vendredi 31 juillet 2009

Identité de Pythagore

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Ils s'appelaient "triangles semblables". On les nomme maintenant "triangles homothétiques".

(Soupir.)

Il s'agit de triangles ayant au moins deux angles respectivement égaux. On dit officiellement maintenant que leurs angles homologues sont congrus. Forcément, la somme des angles d'un triangle donnant toujours 180°, si deux angles homologues sont congrus, c'est que les trois angles le sont. M'enfin.

(De késsé ? Homologue ? Homo = semblable, logue = rapport. Dommage que le grec ne soit plus enseigné, n'est-ce pas ? Il s'agit des angles ou des côtés correspondants.)


La beauté des triangles semblables est que les côtés homologues sont proportionnels.

Par conséquent, le rapport des mesures de deux côtés homologues est le même pour tous les triangles semblables.

Cela étant vrai dans tous les triangles, c'est forcément vrai dans les triangles rectangles et ces rapports sont tellement utiles qu'on a décidé de les nommer.

Soit θ, un angle du triangle rectangle. On nomme le côté qui lui fait face côté opposé et celui qui le touche, mais qui n'est pas l'hypoténuse, côté adjacent. L'hypoténuse se nomme hypoténuse. hi!hi!hi!



Par définition :

cosinus θ = longueur du côté adjacent / longueur de l'hypoténuse

sinus θ = longueur du côté opposé / longueur de l'hypoténuse

Cela suffira à nous amener aux fonctions hyperboliques.

Pour votre culture, le troisième rapport utile se nomme tangente.

tangente θ = longueur du côté opposé / longueur du côté adjacent

Voilà qui suffit. Ces rapports trigonométriques sont abrégés sur les calculatrices par les touches SIN, COS et TAN. Les calculatrices francophones (!!!) devraient écrire plutôt sin, cos, tg.

Bien sûr, comme le rapport se fait en choisissant deux côtés parmi les trois du triangles et qu'il faut dans les rapports distinguer le numérateur du dénominateur, il doit donc y avoir un arrangement de 2 parmi 3, soit 6 rapports trigonométriques différents (admirez mon côté "renouveau pédagogique", je mélange un peu de combinatoire à la géométrie, histoire de bien compliquer synthétiser les choses.)

Les trois manquants sont :

sécante θ = sec θ = longueur de l'hypoténuse / longueur du côté adjacent

cosécante θ = cosec θ = longueur de l'hypoténuse / longueur du côté opposé

cotangente θ = cotg θ = longueur du côté adjacent / longueur du côté opposé

Comment se fait-il que ces rapports n'apparaissent pas sur les calculatrices ?

Réponse bête : Si ils servaient, elles les auraient ! Mais bon, certains donnent des noms à leur poisson rouge ou à leur vélo, alors pourquoi ne nommer que trois rapports quand on en a 6 !

Forts de tous ces enseignements, revenons au cercle trigonométrique et au théorème de Pythagore.

On a x² + y² = 1.

Or, si on prend θ comme étant l'angle au centre, c'est-à-dire l'angle du sommet pointé à l'origine et dont l'un des côtés épouse l'axe des x, on aura, puisque la longueur de l'hypoténuse est 1

cos θ = x
sin θ = y





De là, l'identité de Pythagore :

cos² θ + sin² θ = 1.





Source des images : intellego.fr et wikimedia.

jeudi 30 juillet 2009

Le cercle trigonométrique

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Le théorème dit de Pythagore était connu des Égyptiens et des Chinois bien avant qu'il ne soit formulé par les Pythagoriciens. Rappelons-le une dernière fois :

Le carré de la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des longueurs des cathètes. C'est dire que si a et b sont les longueurs respectives des cathètes et c la longueur de l'hypoténuse,

a² + b² = c².

Entre le premier énoncé du théorème de Pythagore et sa formule, il s'est écoulé plus d'un millier d'années d'histoire des mathématiques, le temps d'arriver à Descartes.

(De késsé une cathète ? Ben, c'est un des deux côtés du triangle rectangle qui n'est pas l'hypoténuse, les côtés adjacent à l'angle droit quoi. Je suis d'accord, c'est laid comme mot, d'autant plus qu'il est féminin. Une cathète ! Ça vient du grec káthetos qui voudrait dire "lignes perpendiculaires", alors comme les côtés qui forment l'angle droit d'un triangle rectangle sont forcément perpendiculaires, eh bien, c'est le terme qui convient le mieux, même s'il est laid. Dans plusieurs langues, on appelle les cathètes les jambes du triangle rectangle. Plus sexy et moins têteux... mais en français, c'est quand on n'a pas de tête qu'il faut avoir des jambes.)

Comme il a été démontré dans le billet précédent (et il existe des centaines de démonstrations différentes), le théorème de Pythagore est vérifié pour n'importe quel triangle rectangle. En particulier, il est vrai pour tous les triangles rectangles dont l'hypoténuse est de longueur 1. Dans ces triangles particuliers, on obtient a² + b² = 1.

Imaginons quelques uns de ces triangles rectangles :

Il y a d'abord les cas dégénérés : une hypoténuse de longueur 1, une cathète de longueur 1 et l'autre de longueur 0. Ok, c'est de la triche.

Il y a bien sûr, l'isocèle (iso = même, scèle = jambe, l'isocèle a les jambes de la même longueur, c'est dire que les autres triangles sont boiteux). Pour la coupe du pantalon, la longueur est de...

Si a = b, alors a² + b² = 2a² = 1. Donc a = 1/√2 ou pour les plus vieux qui ont développé une allergie aux radicaux des dénominateurs, √2 / 2. Vous dites 0,707 ? Vous avez bien compris, mais vous démontrez une dépendance à la calculatrice, ce qui est très grave. Vous risquez de finir informaticien ou pire, ingénieur.


Il y a aussi celui qui est bien pratique en construction ou en dessin, celui qui a une cathète dont la longueur est la moitié de la longueur de l'hypoténuse. Son avantage tient du fait que dans ce triangle, en plus d'avoir un rapport 1:2, on a les angles de 30°, 60°, 90°. Joli. Donc, dans le cas qui nous préoccupe, si l'hypoténuse mesure 1, une cathète ½, l'autre mesurera... √3/2.

Évidemment, des triangles rectangles dont l'hypoténuse est 1, il y en a des tonnes de copies et si on les rassemble tous, qu'on les épingle par un sommet opposé à l'angle droit, on obtient... on obtient...

... un cercle que l'on appelle cercle trigonométrique.



Quand René Descartes aura la brillante idée de définir le repère cartésien, quand l'horizontal portera le nom d'abscisse et sera représenté par la variable x, que la verticale portera le nom d'ordonnée et sera représentée par la variable y, le théorème de Pythagore appliqué aux triangles rectangles d'hypoténuse de longueur 1 deviendra x² + y² = 1, l'équation d'un cercle de rayon 1 centré à l'origine qu'on appellera plus simplement cercle trigonométrique.

Il est possible que le cercle trigonométrique soit synonyme pour certaines personnes de supplice, d'apprentissage par cœur des coordonnées des angles remarquables mesurés en degrés ou en radians. Vous aviez raison de pleurer. Tout cela ne sert pas à grand chose, mais, dans la vie, il faut souffrir pour être beau...

√2 est plus beau et plus juste que 1.4142135623730951, même si dans les faits, après vous couperez le ruban à environ 1,4. Mais c'est la différence entre les mathématiques et les sciences appliquées, entre la théorie et la pratique, entre l'absolu et le relatif, entre la perfection et l'erreur, entre la quête de l'inaccessible étoile et la résignation à être né pour un petit pain.

mercredi 29 juillet 2009

Le théorème de Pythagore

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το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των 2 κάθετων πλευρών.



Trianguli recti hypothenusam quadratam aequalem esse summae aliorum laterum quadratorum.

În orice triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei.

समकोण त्रिकोण के कर्ण का वर्ग अन्य दो पार्श्वों के वर्गों की राशि के बराबर है.

At i alle retvinklede trekanter er summen af kateternes kvadrat lig hypotenusens kvadrat.

Jumlah luas bujur sangkar pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas bujur sangkar di hipotenus.

In enige reghoekige driehoek is die kwadraat van die lengte van die skuinssy gelyk aan die som van die kwadrate van die lengtes van die reghoekige sye.

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

In allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist.

שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר (הניצבים הם שתי צלעות הזווית הישרה, והיתר הוא הצלע הארוכה של המשולש)

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto).

直角三角形兩直角邊(即“勾”、“股”)邊長平方和等於斜邊(即“弦”)邊長的平方。

Pisagor teoremine göre bir diküçgende dik kenarların karelerinin toplamları hipotenüsün karesine eşittir.

Tổng diện tích của hai hình vuông vẽ trên cạnh kề của một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyền của tam giác này.

مبرهنة فيثاغورس هي مبرهنة في الهندسة الإقليدية، تقول أنه في أي مثلث قائم الزاوية يكون مجموع مربعي طولي الضلعين المحاذيين للزاوية القائمة يساوي مربع طول الوتر.

Suorakulmaisen kolmion kateetit sivuina piirrettyjen neliöiden alojen summa on yhtä suuri kuin hypotenuusa sivuna piirretyn neliön ala.

임의의 직각삼각형에서 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 다른 두 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형의 넓의의 합과 같다.












mardi 28 juillet 2009

Pythagore de Samos

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Pour aller aux fonctions hyperboliques, il n'est pas interdit de partir de loin. Comme c'est l'été, partons de loin, loin, partons de la Grèce antique.

Si quelqu'un prétend connaître la biographie de Pythagore, souriez. Pythagore est d'abord et avant tout une légende. Sa biographie la plus ancienne date de plusieurs siècles après sa mort. Pas étonnant quand la mémoire de quelqu'un survit après tant d'années qu'on le décrive comme un dieu. Ce qui est bien, puisque cela nous permet de pouvoir broder un peu autour du personnage.

Pythagore a vécu au VIe siècle avant notre ère. Il est né et est demeuré jusqu'à 18 ans à Samos, ville de ses parents... enfin de son père...



Pour la chronique, rappelons simplement qu'à l'époque, les femmes étaient d'éternelles mineures qui n'avaient comme fonction que d'assurer la descendance des hommes. Elles vivaient entre elles, à part et elles ne recevaient généralement que l'éducation que leur mari voulait bien leur offrir. Les hommes avaient leurs appartements d'hommes et avaient des responsabilités de citoyens. Les garçons recevaient une éducation plus structurée et l'on peut croire qu'ils étaient relativement intégrés aux citoyens de la cité.

À 17 ans, il remporte les Olympiques à la boxe (pugilat).





À 18 ans, Polycrate prenant le pouvoir de Samos et agissant comme un guerrier ambitieux, Pythagore qui préfère les études s'enfuit. Il part à la rencontre de maîtres à l'extérieur de Samos. Il rencontre en particulier Thalès à Milet, celui qui grâce à un rapport de triangles semblables avait réussi à calculer la hauteur de la pyramide de Khéops tout en gagnant l'admiration du pharaon Amasis.

Il faut dire que la civilisation grecque voulait se démarquer des métèques en développant la logique, la philosophie, l'abstraction mathématique plutôt que de se restreindre à de simples algorithmes comptables.

Pendant plus de 20 ans, Pythagore a parcouru diverses régions, de la Grèce à la Mésopotamie en passant par l'Égypte, toujours à la recherche des plus grands penseurs de son époque. Il apprend la musique et les mathématiques. C'est de Babylone qu'il prendra l'habitude de porter le turban.



Vers 50 ans, il revient à Samos dans l'espoir de déverser son savoir. Nul n'étant prophète dans son pays, si on le consulte de toute la Grèce pour des questions politiques, ses recherches mathématiques n'intéressent personne... sauf un jeune homme qui lui sera dévoué au point de prendre son nom.

Pythagore au carré partent pour Crotone, un hameau au sud de l'Italie.

On raconte que sur la route, Pythagore aurait entendu la voix d'un ami décédé dans les gémissements d'un chien que l'on battait. Il aurait alors conclu que les animaux étaient des réincarnations des humains et dès lors, on le devine, il est devenu végétarien et ne se vêtait que de fibres végétales. On dit qu'il était très beau, très intelligent, que lorsqu'il parlait, il avait un grand pouvoir séducteur, un charisme fou. Pythagore avait tout du gourou et il cultivait sa réputation d'être exceptionnel.

C'est donc à Crotone qu'il fonde sa secte des Pythagoriciens et au sommet de sa popularité, être un disciple de Pythagore était un honneur, une grande marque de distinction. On disait qu'il était un devin, qu'il faisait des miracles (ressuscitant même l'un de ses esclaves), qu'il avait le don d'ubiquité, une cuisse en or...

Les Pythagoriciens vivaient dans une espèce de commune où ils partageaient tout et où ils avaient des règles dignes des plus belles sectes : silence de 5 ans aux nouveaux disciples, interdiction de porter des bagues, obligation de chausser le pied droit d'abord, absence d'excès, de gourmandise, interdiction de manger des fèves, obligation d'être fidèle et de s'abstenir de battre son épouse (!!!)... Pythagore servait de modèle d'austérité et de sagesse. Il parlait de délivrance de l'âme et, pour lui, la délivrance de l'âme s'obtenait par la dialectique et les mathématiques. Les mathématiques servaient de purgation de l'âme pour la débarrasser des souillures matérielles et du désordre, la dialectique amenait la délivrance. Le but est d'atteindre l'immortalité en se débarrassant des passions terrestres et en perçant les mystères du monde en découvrant les lois des nombres qui sont associés aux éléments de la nature.

Si l'on offrait à qui voulait l'entendre (femmes et étrangers compris) des sermons, les enseignements gardés secrets étaient uniquement réservés aux Pythagoriciens qui se divisaient en deux classes, en quatre degrés. La première classe composée d'exotériques était mise en attente ou recevait les enseignements sans explication comme des vérités incontestables souvent des disciples de la meilleure classe, soit les mathematikoi (qui signifie "choses apprises") qui eux allaient jusqu'à démontrer, analyser, rechercher.

Les exotériques du premier degré, les postulants, étaient choisis selon leurs apparences physiques, leurs personnalités ou... leurs contacts...

Le deuxième degré : Les néophytes étaient réduits au silence pendant quelques années et attendaient... Pythagore testait leur volonté.

Le troisième degré : Les auditeurs (acoustiques) étaient toujours réduits au silence, mais on leur balançait des règles et des théorèmes qu'ils devaient accepter et mémoriser.

Finalement, le plus haut degré, les ésotériques, soit les mathématiciens, avaient le droit de voir et de discuter avec le maître. Ils avaient leurs spécialités (politique, religion, musique, arithmétique, géométrie, astronomie), mais ils privilégiaient la science et la contemplation aux sciences humaines.

Inutile de préciser que toutes les découvertes faites par la secte portaient le nom du gourou. Pythagore. Rien ne démontre que Pythagore ait fait de la recherche en mathématiques. Il est donc probable que le théorème de Pythagore ne soit pas de Pythagore...

L'histoire se termine mal...

Les Pythagoriciens qui "défroquaient" étaient considérés comme morts par les autres. On les ignorait, on ne les saluait pas, on ne les reconnaissait pas. Ils n'existaent plus.

Un auditeur démontre un jour que le théorème voulant qu'il existe d'autres nombres que les nombres fractionnaires. Il démontre de façon incontestable que √2 est un nombre irrationnel. La légende dit que les mathématiciens l'auraient amené dans une barque loin de la rive, l'aurait jeté dans la Méditerranée où il se serait évidemment noyé. Hélas, le doute était semé, les principes fondamentaux enfreints, plusieurs Pythagoriciens auraient alors quitté la secte.

Il y avait également de la hargne chez les auditeurs qui enviaient les privilèges des mathématiciens et supportaient mal leur mépris. À titre d'exemple, les mathématiciens étaient élégamment vêtus de lin blanc alors que les exotériques n'avaient même pas le droit de se laver !

Finalement, un noble de Crotone, Cylon, se présente pour faire partie de la secte. Sa face ne plaisant pas, il est refusé. Il retourne en ville, propage le doute et la haine pour la secte. Il arrive à convaincre des gens d'aller incendier la résidence des Pythagoriciens, à les faire fuir hors de la ville.

Pythagore s'installe à Métaponte où la population continue à persécuter les siens. Une légende dit que s'enfuyant, Pythagore serait mort à 90 ans dans un champ de fèves...

samedi 25 juillet 2009

Ah... si j'étais jeune et blonde...

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vendredi 24 juillet 2009

Camping de sauvages

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C'est une histoire de jeunes de 15 ans...
Forcément compliquée.
Une histoire entre le "je suis capable seul" et le "suis-je vraiment capable seul".
Une histoire entre le "avec ma gang" et le "avec ma mère".
Une histoire de génération spontanée et d'évolution.
Une histoire d'ados.

Elle aurait commencé un midi à l'école lorsque Mike aurait affirmé que ses parents avaient un terrain sur le bord d'un des grands lacs du coin. La belle Émilie a alors émis l'idée que la gang y passe quelques jours en camping. Huit jeunes âgés de 14 à 16 ans sur un terrain vacant...

Il ne fallut pas attendre longtemps, dès le lendemain, les mamans de deux filles de la gang se joignaient à l'affaire et les parents de Mike refusaient de prendre la responsabilité d'une telle activité chez eux en leur absence. Déception chez nos jeunes, on le devine, alors on implora Sainte-Missmath-des-Martyrs pour trouver une solution.

L'Outaouais est une région paradisiaque pour camper. La solution était donc facile à trouver si l'on s'entend sur la définition de camping.

On organise une rencontre par clavardage (euh... on discute ici avec des ados, donc forcément que ça se passe chacun chez soi!) pour planifier l'affaire. La disponibilité avait été vérifiée par les jeunes. L'engagement... ouf... ça, c'est un peu plus difficile. J'ai rapidement perdu les mamans qui incluaient dans leur définition du camping les notions de toilettes et de douches (et par conséquent leurs filles étaient exclues de l'activité), puis les cours d'été et les petites chicanes internes ont fait en sorte que nous nous sommes retrouvés à cinq, quatre ados et une vieille, prêts à partir pour le meilleur et pour le pire.








Ils avaient tous un besoin commun : sortir de chez eux et se retrouver quelque part pour être entre eux. Et comme je ne les connais pas beaucoup, ils n'ont pas de lien de dépendance envers moi. J'étais celle qui les accompagnait, celle qui avait l'expérience du camping, l'adulte guide, la bouée de sauvetage, mais pas l'amie, pas l'animatrice.

La veille du départ, nous sommes allés faire les courses à partir des menus qu'ils avaient décidés. Je leur ai montré à monter les tentes et à vérifier l'équipement. Ils ont installés leur campement comme ils l'entendaient et j'ai monté ma tente à plusieurs mètres de là, afin de leur donner l'impression d'être vraiment entre eux. Le soir, je les aidais à partir le feu de camp (il a beaucoup plu, alors les brindilles et les feuilles mortes sèches ne se ramassaient pas à la pelle !), je restais veiller avec eux une petite heure, puis je regagnais ma tente.




C'est quand la nuit tombe que l'ado s'éveille.

Je ne doute pas que la quantité de guimauves, de jujubes et de smouffes (mélange douteux de biscuits Graham, de chocolat et de guimauve grillée) favorisent la chose, mais à minuit, mes 4 ados faisaient plus de bruit qu'un couple de corneilles surveillant leurs petits. Malgré la distance qui me séparait d'eux, malgré mon baladeur, je n'entendais qu'eux, que leurs histoires, que leurs rires. Impossible de dormir.

Que faire ?
Leur crier de se taire ?
Leur demander de baisser le ton ?

Une heure du matin.

"Baissez le ton."
Pffffff, ils ne m'ont pas entendue.

Deux heures du matin.

Je rage. Pourtant, à la maison, je suis rarement couchée si "tôt". Je rage parce que je sais ce qu'ils ne savent pas. Je sais que le jour se lève tôt dans une tente, que la lumière y entre et que la chaleur y monte vite, alors il faut dormir la nuit. Je rage parce que je sais qu'il peut arriver des situations qui feront en sorte qu'on ne pourra pas dormir et qu'il vaut mieux avoir dormi un peu avant qu'elles ne surviennent. Je sais. Eux ne savent pas. Moi oui. Dois-je me lever pour aller leur verser mon savoir pour qu'ils comprennent enfin qu'ils doivent dormir ? ... ou au moins se taire ? ... ou au moins chuchoter...

Trois heures du matin.

La pluie, l'averse.
J'entends des cris. Ils sont inondés. Bien fait pour eux, na ! Je vois une lampe qui fait le tour de leur tente pour la solidifier. J'envoie un signal de lumière pour qu'ils sachent que je suis là, mais je ne vais pas à eux. Ils viendront me chercher s'ils ont besoin de moi, je ne me mouillerai pas pour eux, oh que non.

Quatre heures du matin, la pluie cesse, ils parlent toujours.

Je suis exaspérée.

Quatre heures trente, j'entends un immense plouf et craignant pour les canots ou la bouffe, je me lève pour vérifier et en profite pour aller faire un tour à leur tente.

- J'ai cru voir une lumière dehors.
- Tu rêves, il n'y a rien.
- J'entends des pas.

Je m'arrête.
- Ben non.
Je m'approche de la tente sans bruit, y mets un bon coup de pied, cris de frayeur des quatre as et je leur hurle de toute ma rage accumulée pendant des heures :

AVEZ-VOUS L'INTENTION DE PARLER TOUTE LA NUIT ?

Pas de réponse, ils sont sous le choc. Pfffffff...

Et je suis repartie, regrettant déjà ma rage et mon geste... la nuit était passée.

Les tentes montées sous le feuillage, le temps couvert, nous avons tous les cinq dormi jusqu'à midi.

Et puis, j'ai réfléchi.

J'étais isolée dans un monde d'ados. Je n'avais aucunement l'intention de leur planifier des activités et encore moins de les forcer à en faire, ce qui tombait bien, car ils n'étaient pas là pour faire des activités, ils étaient là pour être ensemble et c'est tout... et ils vivaient dans leur fuseau horaire (qui est pourtant le mien... sauf en camping... sans raison vraiment valable, une simple question de référence). Ma raison était-elle plus valable que leur raison ? Certainement pas. Qu'avais-je à leur reprocher ? Rien vraiment. Ces jeunes étaient hautement fonctionnels, ils respectaient les quelques règles que je leur avais imposées pour leur sécurité et le bon fonctionnement de l'aventure, ils étaient prudents, ils participaient aux tâches, acceptaient d'apprendre et devenaient de plus en plus autonomes. Bref, je n'avais rien à leur reprocher si ce n'est que de vivre la nuit, chose qu'en général on me reproche à moi...

Alors, je me suis mise à imaginer un camping pour ados. La fête la nuit, la sieste le jour. Aucun bruit ne serait toléré avant midi, pas de couvre-feu la nuit.

Au repas, nous avons discuté de tout cela. J'ai expliqué ma rage de la nuit et je leur ai dit que je les comprenais de se laisser emporter par leurs histoires au point de ne pas réaliser le volume de leurs voix. Ils ont aussi compris combien ils pouvaient me déranger. Je leur ai parlé de cette idée de camping pour ados. On a imaginé l'endroit idéal. Oh que l'endroit serait trippant (pour eux), oh que j'ai vu rapidement les problèmes que cela pourrait engendrer (mais bon, on est en vacances, alors aussi bien les laisser rêver) !

La nuit suivante a été beaucoup plus calme... si on exclut tous les visiteurs nocturnes que nous avons eus. (Voilà peut-être une bonne raison de laisser discuter des ados : ils font fuir les bêtes !) En élément extérieur, j'ai eu le privilège de regarder vivre ces ados et je dois dire que c'est tout un honneur que j'ai eu. Leur sens du partage et de la collaboration est extraordinaire. Ils mettent tout en commun. Ils s'entraident, mais surtout se respectent. Ils sont prudes, mais n'ont aucun tabou. Ils ont une connaissance d'eux-même qui est surprenante.

De quoi discutaient-ils ?
Alors là... ce qui est dit sur un terrain de camping reste sur le terrain de camping !

Ce que je peux dire, c'est que je les avais limités à un sac à dos par personne d'effets personnels. Je leur ai mentionné que les nuits pouvaient être fraîches et les jours chauds. Résultats : La prochaine fois, je serai plus précise sur les vêtements à apporter (comme une lampe de poche, un imperméable et des souliers fermés ou autre chose que des camisoles décolletées ou des pantalons blancs). Mais tous avaient leurs baladeurs et leurs appareils photos. Ils avaient des haut-parleurs, un gameboy... l'essentiel quoi !

Finalement, avec ces quatre là, je retournerais en camping n'importe quand... peut-être même avec plus d'empressement qu'avec mes amis campeurs qui se lèvent beaucoup trop tôt ! Ha !




samedi 18 juillet 2009

Les tiers d'un entier

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Ah... Pagnol...


vendredi 17 juillet 2009

C'est le monde à l'envers

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... ou finalement à l'endroit, c'est selon !



J'ai fait une demande spéciale à Влад, le créateur de tous mes fonds d'écran... à suivre !

jeudi 16 juillet 2009

Changer d'air

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Être prof, c'est un peu (je dis bien un peu) être condamné à répéter.
Être étudiant, c'est un peu (je dis bien un peu) être condamné à écouter les mêmes choses.

Tant et si bien que l'on répète de façon mortellement ennuyante et qu'ils n'écoutent pas du tout.

Qui écoute les consignes avant le décollage d'un avion ?
Pffffff...

Parfois, pour capter l'attention, il suffit de changer d'air.



Sur ce, je me sauve à l'aéroport !

mardi 14 juillet 2009

Petite devinette

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lundi 13 juillet 2009

Pour en finir avec le Bac

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Cette année, nos amis français exagèrent.

Tous les ans, au mois de juin, les journaux français parlent du Bac : comment les jeunes s'y préparent, quels services sont offerts, le stress des uns, les problèmes des autres, bref, on y lit ou voit plusieurs reportages.

Cette année, j'ai été assez choquée d'un reportage concernant une nouvelle forme d'aide pour préparer les étudiants en mathématique. Il s'agit d'un forum et d'une aide téléphonique. Les étudiants pouvaient y poser leurs questions et un prof s'engageait à y répondre le plus rapidement possible. Une carte d'une dizaine d'euros (de mémoire c'était 12 €) permettait d'avoir une heure de soutien. Et les parents derrière qui disaient que ce n'était vraiment pas cher et qu'ils accepteraient sans problème d'offrir à leur jeune autant de cartes que nécessaire. Pffffffff, dire que je fais ça gratuitement !

Ensuite, les professeurs ont distribué leurs conseils.

J'aime particulièrement les conseils prodigués par Sonia qui vont jusqu'à la numérotation des pages des cahiers de rédaction :

* En maths (et géo, svt, physique-chimie) :

La rédaction permet de restituer et d'expliquer votre démarche et votre raisonnement.

- Introduisez vos calculs et démonstrations par une phrase de type "Montrons que".
- Reportez le numéro de l'exercice. Pensez à indiquer en haut d'une nouvelle copie "suite de l'exercice n°".
- Vos dessins, schémas et graphiques doivent assez grands, lisibles et bien séparés du texte. Pensez à les faire sur des feuilles à part pour pouvoir les modifier sans raturer votre copie.
- D'une façon générale, donnez dans votre réponse :
- les formules générales, hypothèses, propriétés ou théorèmes utilisés,
- le détail de vos calculs,
- le résultat encadré et accompagné de votre commentaire et interprétation.
- Pensez aux unités : les oublier revient à donner une valeur fausse.
- En maths, évitez les énumérations avec tirets qui risquent d'être pris pour des signes moins.

* Prenez toujours le temps de relire votre copie. Vérifiez la bonne numérotation des questions, des titres des parties et de vos feuilles. Trouvez le bon compromis entre efficacité et propreté. L'essentiel de votre travail est ailleurs !


Pour avoir travaillé au Baccalauréat international, je comprends très bien cette nervosité de la part des professeurs.

À la fin juin, j'étais en France. Un seul sujet de conversation chez les parents et chez les étudiants : le brevet, le bac. Pas question de souper ni de veiller tard, on étudie.





Et puis, les résultats sont publiés. Sur internet depuis quelques années, mais également affichés à l'entrée des écoles. Je précise pour mes collègues français, que l'affichage des notes est interdit dans mon cégep, que tous les résultats doivent demeurer confidentiels et un numéro étudiant, ce n'est pas assez confidentiel !!!





Les résultats du bac cette année semblent être excellents. 78 % au bac général, 80 % au bac professionnel.

Monsieur Marion publiait même la liste des mentions de son lycée. On est loin de la maladie honteuse dont on affuble nos premiers de classe.

...

Je ne sais pas quels sont les taux de réussite des examens du MELS, mais il me semble avoir entendu trop de fois le mot "normalisation des résultats". Quand on normalise, c'est que ça ne va pas bien.

Bien sûr, je n'ai rien à dire sur la culture du bac en France. Comme le dit le dicton, je n'apprendrai pas à un vieux singe à faire des grimaces (surtout si le singe est français HA!), mais je m'interroge sur notre vision de l'éducation au Québec. Pourquoi ne la valorise-t-on pas ? Pourquoi, à l'extérieur de l'école, n'envoyons-nous jamais le message que les études sont importantes et exigeantes ? La réussite académique de certains de nos étudiants (mentions, bourses) fait-elle vraiment tant d'ombre sur les autres ?

mardi 7 juillet 2009

Évaluation vue de loin

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lundi 6 juillet 2009

Évaluation évaluée

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Toute personne qui côtoie un enseignant de près ou de loin aura forcément entendu ses jérémiades sur la correction.

20 copies une fois de temps en temps, ça va. 25 copies, c'est limite. 70 copies, ça fait mal. 150 copies, c'est de la torture.

Mais qui dit correction dit forcément évaluation. Ici, ce sont les étudiants qui sont torturés et qui gémissent.

Alors, si tout le monde souffre, pour kossé faire qu'on évalue ?

Dans un monde parfait et égalitaire, l'évaluation devrait être construite pour valider les apprentissages des étudiants. Pas question de note. Seulement de savoirs.


Avant d'aborder les applications de la dérivée, vérifions votre capacité à utiliser les techniques de dérivation. Voilà un examen.

Sophie, tu maîtrises très bien tes techniques, tu es prête pour la prochaine étape.

Sébastien, tu maîtrises très bien les techniques, mais ton écriture mathématique est à parfaire. Regarde ici, par exemple, il n'y a pas égalité entre la fonction et sa dérivée.

Marie, la dérivée d'un produit de fonctions n'est pas le produit de dérivées.

Julien, tu n'as pas fait les dérivées des fonctions composées, il te faudra travailler cette section avant de commencer les applications. Si tu veux, on pourrait se voir à la récupération ? Tu as manqué de temps ? Dans ce cas, je te propose cette série d'exercices d'entrainement. C'est important que tu arrives à faire les dérivées assez rapidement, sinon tu auras du mal à suivre les développements des applications.


Quelle évaluation formative ! Hélas, la taille de nos groupes ne nous permet pas d'offrir une telle chance de réussir aux étudiants.

Et même si on le pouvait, il y aurait des regroupements de parents pour exiger des notes et des moyennes, nous obligeant ainsi à donner des valeurs aux erreurs. Est-ce qu'une fausse égalité est moins grave que l'ignorance de la règle du produit ? Qu'est-ce qui distingue une erreur vénielle d'une erreur mortelle ? Cet élève qui coule aurait-il pu passer si la pondération avait été faite différemment ?

Qui n'a pas entendu le célèbre : "Ma solution n'est pas bonne, mais j'ai la bonne réponse, je devrais au moins avoir quelques points."

C'est vrai quoi, le coup de chance, c'est payant au Casino !

Faisons le test :



Alors, sur 8 points, vous en donnez combien pour cette solution ?

Maintenant, sachant que c'est la solution d'une des plus fortes de la classe, vous donnez combien ?

Maintenant, sachant que c'est la solution d'une des plus fortes de la classe dans ce programme en difficulté qui risque de fermer et par conséquent vous envoyer au chômage s'il n'y a pas assez d'étudiants qui réussissent, vous donnez toujours la même note ?

Idem pour la version secondaire : vous donnez combien sachant que vous ne pouvez pas avoir plus de 5 échecs dans la classe ?

Il y a derrière l'évaluation sommative notée des procédures comptables agaçantes qui causent forcément des préjudices. Par exemple, en normalisant les notes, en faisant passer en classe supérieure des élèves qui n'ont pas atteint les compétences d'un niveau, on pénalise forcément des étudiants. Soit ceux qui n'ont pas atteint le niveau et qui devront tôt ou tard mettre les bouchées doubles pour récupérer ce qu'ils ont manqué, soit ceux qui ont atteint le niveau et qui devront se plier à de la sempiternelle révision et s'ennuyer mortellement dans un cours qui sera adapté à la clientèle faible de la classe. Et détrompez-vous si vous croyez que l'examen ministériel viendra séparer le bon grain de l'ivraie. En supposant qu'il soit valide et fidèle, cet instrument est aussi soumis aux normes comptables du MELS.

L'évaluation significative est forcément individuelle et ne doit pas tenir compte du groupe ni des contraintes budgétaires de l'école. Elle est exigeante autant pour l'apprenant que pour le professeur car sa finalité est l'atteinte de la compétence.

Mais... l'atteinte de la compétence est relative.

Relative au programme, mais surtout relative aux références des évaluateurs.

Compétence : Savoir dériver.

Prof A : Est compétent l'élève qui peut dériver f(x) = 5 sin(4cos(2x))*∜(ch(x)).

Prof B : Est compétent l'élève qui peut dériver f(x) = cos(2x) et g(x) = x sin x.

Prof C : Est compétent l'élève qui sait utiliser un logiciel de calcul symbolique pour déterminer la dérivée d'une fonction.

Prof D : Est compétent l'élève qui sait dériver y² + y = x⁵+ sin (2x⁸- 30)

Prof E : Est compétent l'élève qui peut dériver f(x) = sin x et g(x) = 3x + 4.

Il est fort probable que les échecs du Prof A auraient réussi avec le Prof E.


De là l'importance d'avoir un cadre de référence commun pour l'évaluation des compétences.

L'école est plus qu'un mauvais moment à passer dans la vie d'un jeune. On ne le soumet pas à des évaluations pour le plaisir de le voir souffrir et stresser parce que dans la vie, mon jeune, il y a souffrances et stress. L'école offre une formation et cette formation est basée sur la compétence qui elle doit être clairement définie.

C'est peut-être ce qui explique les cris des enseignants du secondaire vis-à-vis les évaluations du MELS. En tout cas, pour ma part, en n'utilisant que les documents du MELS ou le livre de référence du cours, j'étais incapable de préparer adéquatement mes jeunes pour leur examen de mathématique de la première année du deuxième cy... secondaire III ! En prof E, l'échec était assuré sur une évaluation de type Prof A, en Prof A, je risquais de décourager inutilement mes protégés. (Un gros merci encore à Anthony qui a une fois de plus éclairé ma route.) On ne peut se préparer adéquatement à une évaluation quand on ne connait pas précisément les critères de performance attendus. Et quand j'entends que certaines écoles ne passent pas l'examen du Ministère qu'il juge trop loin des enseignements donnés à leurs élèves, je me dis qu'il y a tout un chaînon manquant. Il en est de même au Cégep. Je travaille dans un département exceptionnel avec des collègues très rigoureux. Depuis des années, nous travaillons les évaluations finales en équipe de cours, mais le degré de difficulté des critères de performance n'est discuté en cours de session que depuis tout récemment (en fait, depuis que l'on est envahi par de nouveaux profs, mes collègues préférés m'abandonnant tous les uns après les autres pour l'illusion du bonheur que l'on nomme retraite). Et c'est encore pire à l'université de ce que j'en vois par ma petite fenêtre de chargée de cours.

Or, il me semble fort étonnant qu'après la formation secondaire, les épreuves uniformes n'existent pas au collégial (sauf en français), ni même dans certains programmes universitaires. La certification de nos étudiants reposent donc uniquement sur le jugement de quelques individus isolés qui pourraient, dans certains cas, n'en avoir rien à cirer. (J'exagère, mais des profs qui ne travaillent que pour payer leur épicerie et jouir de 2 mois de vacances l'été, ça existe !) (Voilà qui peut en dire long sur la valeur de notre enseignement. (Nous y reviendrons prochainement.))

Mon meilleur ami me disait il y a quelques temps qu'il n'engageait plus de techniciens provenant d'un Cégep dont je tairai le nom, car même leurs meilleurs étudiants ne savaient rien faire.

Il me semble que toute certification devrait être validée par une évaluation des compétences en situations de travail régie par un Ordre, le MELS ou du moins des experts indépendants de l'établissement d'enseignement.

(Remarquez que je suis bien contente que ces évaluations n'existent pas en éducation, en mathématique et en informatique, car je ne suis pas certaine que je les aurais réussies. HA!HA!HA!)

Vous voulez que je vous raconte une histoire triste et vraie ? Il sera difficile de ne pas identifier les individus dont il est question ici, alors, soyez discrets si vous les reconnaissez.

Dans un programme, il y a quelques temps, il y avait un étudiant qui avait beaucoup, beaucoup, beaucoup, mais vraiment beaucoup de difficulté. Il a refait ses cours plusieurs fois chacun, tous les profs de mon département l'ont eu au moins une fois comme élève, bref, vous voyez le type. Une mémoire vive de 10 K et un disque dur de 1 M dans son domaine, mais pour le reste un chic type. Quand je l'ai eu comme élève, il y avait dans sa classe un des meilleurs élèves que j'ai eu de ma vie. Un étudiant très fort intellectuellement qui étudiait à temps plein le jour et qui travaillait à temps plein la nuit pour nourrir ses enfants. Eh bien, aujourd'hui, ces deux anciens étudiants ont non seulement exactement le même diplôme en poche, mais ils occupent tous les deux de très bons emplois semblables pour lesquels on les juge compétents. (Oui, ils sont mieux payés que moi avec des meilleures conditions, mais bon, j'y peux rien moi, si j'ai reçu la grâce de la vocation et l'esprit de sacrifice !)

L'évaluation est-elle un instrument de clivage, d'apprentissage ou un mal nécessaire ?

Attention à votre réponse, il se cache derrière les mots performance, réussite... vengeance (houhouhou, allez, je vous taquine !)

vendredi 3 juillet 2009

Pourquoi bloguer ?

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En écoutant cette interprétation d'une de mes chansons préférées de Anne Sylvestre, j'ai un peu plus réalisé pourquoi j'aime tant lire les blogues de mes collègues qui oeuvrent en éducation.