lundi 27 février 2012

Diviser en multipliant par l'inverse

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Il arrive que certains étudiants ont vraiment beaucoup de mal à manipuler les fractions. Il m'arrive même de dessiner des tartes pour ces jeunes hommes et ces jeunes femmes.

La mise sous le même dénominateur se comprend bien lorsque l'on passe par les unités.

2 pommes + 3 pommes = 5 pommes
2 pommes + 3 bananes = 5... euh... 5 fruits, car la pomme est un fruit, la banane est un fruit, donc on avait 2 fruits + 3 fruits = 5 fruits.

Après ça, 1/2 + 1/3 devient
1 demie + 1 tiers = 3 sixièmes + 2 sixièmes = 5 sixièmes.

Cependant, pour la division, c'est embêtant.

La règle : Quand on divise par une fraction, on multiplie par l'inverse.

Pourquoi ?
Quel est le sens ?

Et puis, j'ai eu un flash tardif.
(L'horreur du conditionnement, c'est qu'il éteint la créativité.)

Et si on traitait la division comme la multiplication ?

Après tout :


Si cela facilite les calculs lorsque c est facteur de a et d facteur de b, je ne suis pas convaincue dans les autres cas que les "changements d'étage" soient infus.

dimanche 26 février 2012

Les poules couvent au couvent

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PEMDAS.
C'est souvent tout ce qu'il reste des mathématiques inutiles apprises à l'école. Les anglophones utiliseront le truc mnémotechnique "Please Excuse My Dear Aunt Sally". Mais pourquoi faut-il donc excuser cette pauvre vieille ?

  1. Parenthèses ou tout regroupement de la sorte
  2. Exposants (ou les fonctions)
  3. Multiplication et Division, de gauche à droite
  4. Addition et Soustraction, de gauche à droite
En général, dans la vraie vie, lorsque l'on a une longue série d'opérations arithmétiques à faire, on sait où va la priorité, on attrape notre calculatrice et on casse les étapes de calcul selon leur priorité.

Par exemple.



On achète une bouteille de gin Ungava à 30$, deux bouteilles de 2πr à 35$ l'unité. Combien doit-on débourser ? (Les taxes sont incluses dans les prix.)

Gérald dira : 30$ + 2*35$ = 100$. Le compte est bon.

Thérèse prendra la calculette qu'elle a reçu en cadeau après s'être abonnée à une revue : 30+35+35 = 100. Le compte est bon.

Roger empruntera la calculette de Thérèse : 30+2*35 = 1120 $. "Ça n'a pas de bon sens !" Il prendra une calculatrice scientifique : 30+35*2 = 100 $.

Les calculatrices scientifiques (et même certaines calculettes des téléphones intelligents) connaissent les priorités des opérations, tandis que les calculettes effectuent les opérations dans l'ordre de leur arrivée. Il vaut mieux le savoir.

Car selon l'ordre d'arrivée,
30+2*35 = 1120 $
30+35*2 = 130 $
2*35+30 = 100 $.

Faudrait quand même s'entendre !
Et pour s'entendre, on a crée les priorités des opérations.

Il est tout de même étonnant qu'il n'y ait pas d'avertissement sur les calculettes.



Il y a, par contre, quelques vices cachés chez Tante Sally. Quand on sait, on sait, mais quand on ne sait pas, on peut être trompés !

Lisez la phrase suivante :

Mes fils ont cassé mes fils.

Alors, le premier "fils", vous le prononcez [fil] ou [fis] ? Et le deuxième ?

En mathématique, il y a également ce genre d’ambiguïté.

sin x2 = sin (x*x) contre sin2 x = (sin x)* (sin x)

Il en est de même pour sin ab qui veut évidemment dire sin (ab), alors que sin a + b doit être traduit par (sin a) + b et non par sin (a+b).

Cette différence est généralement bien connue et pour ne pas à y faire face, les logiciels et les calculatrices exigent (ou imposent) des parenthèses à l'argument. C'est à l'utilisateur de traduire l'expression qu'il veut calculer.



Ici, il faut le savoir, la longueur du trait de division indique le niveau de parenthèses.



Sur ce cas, la calculatrice effectuera les opérations selon l'ordre d'entrée, de gauche à droite. Comme une calculette. En entrant 232 par 2^3^2, la calculatrice fera (23)2 et non 2(32) comme il se devrait.

Le - est quant à lui amusant à tester. On le sait : (-2)2 = (-2)*(-2) = 4, alors que -22 = -1*22 = -4. On pourrait dire que c'est la priorité des opérations qui l'exige. L'exposant se fait avant la multiplication. Mais bon, quelle est la base ? Est-ce que le nombre -2 est une entité ou est-il la contraction de -1*2 ?

Pour mes calculatrices et les logiciels de calcul, -22 = -4. Par contre, avec Excel, j'obtiens +4.



Mais il y a encore plus sournois.



On a tous appris les quatre opérations arithmétiques élémentaires. Mais qui sait que l'une d'entre elle a une soeur jumelle cachée ? Qui plus est, une soeur jumelle qui ne lui est pas identique ?

Il existe en effet deux types de multiplication. La multiplication explicite (lorsque vous explicitez votre opération en indiquant un *) et la discrète multiplication implicite.

Par exemple : x*y, c'est explicite. xy, c'est implicite.

Vous me direz que c'est la même chose.

Certainement pas en programmation !



Duh !

D'accord, revenons à notre gémellité.

Posons x=3.
Alors, sans conteste, on affirmera que 2x = 6.

On constatera qu'à moins d'avoir une antiquité, les calculatrices et les logiciels reconnaissent ces multiplications implicites. Essayez 2(1+2), vous verrez. Une vieille chose (ou Excel) vous enverra une erreur de syntaxe, mais il y a fort à parier que l'on vous répondra fièrement 6.



La question qui tue : Est-ce que la multiplication implicite est équivalente à la multiplication explicite ?

Lors de vos premiers pas en algèbre, on vous aura dit que oui.
Si x=3, alors 2x = 2*x = 6.

Mais alors, si x = 3, combien vaut 6/2x ? Combien vaut 6/2*x ?

Selon la priorité des opérations, comme la multiplication et la division ont la même priorité, ces opérations doivent être effectuées dans l'ordre, de la gauche vers la droite.

Ainsi, si x=3, 6/2*x = (6/2)*x = 3*x = 3*3 = 9, toutes les calculatrices vous le diront.

Pour les besoins de la cause, ne changeons rien en posant x = (1+2).

Reprenons :
6/2*(1+2) = 3 * (1+2) = 3 * 3 = 9.

Et qu'en est-il de 6/2(1+2) ?

À la maison, tout le monde (calculatrices, Wiris, Mathematica, ...) répond 9 ou réclame un opérateur entre le 2 et la parenthèse.



Sauf que... la multiplication implicite, enfant caché de Tante Sally, a réclamé sa place dans la famille PEDMAS et elle a non seulement obtenu gain de cause, mais elle a reçu compensation. La multiplication implicite a priorité sur la multiplication explicite et la division.

Ainsi, 6/2(1+2) = 6/[2(1+2)] = 1.




Texas Instrument
souligne également l'affaire.

Rassurons-nous, l'écriture tel-que-tel devrait mettre fin aux dilemmes.



Merci à Olivier pour la découverte.

mercredi 22 février 2012

Perle de correction

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S'il n'avait pas été banni par sa direction, on aurait pu lire sur le blogue d'un enseignant de mathématique que j'aime beaucoup cette perle de correction :


« Au cinéma de l'Église, chaque enfant coûtera 6$ alors qu'au cinéma de la Cité, l'enfant de 5 ans ne coûtera rien. »

Dois-je croire qu'il a osé le mot "église" dans un problème de mathématique ?
Houhouhouhou, il ne faut pas avoir peur.

dimanche 12 février 2012

Sommatif vs Certificatif

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Si certains réclament un prof - un ordinateur portable, moi je dis un prof - une Paule.

Paule est une perturbatrice évaluationniste.
Vous savez, la conseillère pédagogique qui connaît tous les termes de docimologie de plus de huit syllabes, qui peut les mettre dans une conversation banale, mais qui peut également les expliquer en utilisant les mots de votre vocabulaire restreint. J'aime Paule. Je ne la fréquente pas beaucoup. Pas assez. Par exprès : chaque fois que je discute avec elle, il me faut des mois pour m'en remettre. En fait non. Je ne m'en remets jamais. Paule montre la lumière au bout du tunnel. Le hic, c'est que soit il n'y a pas de paralume, soit il y a un problème avec le béton, mais on ne voit rien une fois qu'on est dans le tunnel !

M'enfin, vaut mieux en rire...

Le Cégep a été le premier à connaître la "réforme" ! Cela se passait au début des années 90. La fin des objectifs, le début des compétences.

Que s'est-il passé ?

Honnêtement, jusqu'à tout récemment, rien.
Enfin, pas grand-chose.

On nous a laissés décider des contenus pour atteindre les compétences prescrites. On a pris nos bons vieux manuels et on a tenté de les accrocher aux éléments de compétence. En mathématique, la chose n'a pas été très difficile. Puis, dans nos plans de cours et nos feuilles de route, on a utilisé l'éditeur de texte et remplacé les mots "objectifs" par "compétences". En classe, rien n'a changé. Le cours de calcul différentiel de 1977 qui s'appelait Math 103 est à peu de choses le même que celui de 2012 qui s'appelle maintenant NYA. (Et les Lucien Francoeur des mathématiques crient qu'il faut ajouter des heures à ce cours, car les étudiants de la réforme ne connaissent pas leurs mathématiques (leurs étant le possessif des Lucien et non celui des étudiants).)

C'est peut-être aussi à cette époque que sont arrivés les deux types d'évaluation : l'évaluation formative et l'évaluation sommative. Au commencement, c'était simple : quand ça comptait, c'était sommatif et quand ça ne comptait pas, c'était formatif.

Plus de 15 ans plus tard, on commence certains commencent à comprendre ce qu'est un plan cadre et comment l'évaluation sommative peut être formative. C'est long 15 ans, mais le paquebot est gros et les enseignants (dits aussi professeurs) n'ont pas, pour plusieurs, le pied marin.

Or voilà qu'avec la nouvelle politique d'évaluation des apprentissages, on nous arrive maintenant avec un nouveau terme : l'évaluation certificative.

Ha ! On connait la chanson !

Dans tous nos plans de cours et nos feuilles de route, on a remplacé les mots "sommatif" par "certificatif". Et voilà, l'administration est bien contente et nous aussi. On change la couleur des murs et on a l'impression de rénover ! Ha !



Et pourtant...

L'évaluation formative forme. Qu'elle compte ou pas, l'apprenant ou l'enseignant se servira cette évaluation comme d'un régulateur pour valider les compétences développées et pour identifier et remédier aux lacunes.

L'évaluation sommative est une sommation d'objectifs pondérés atteints. Lorsqu'un étudiant a atteint 70 % du poids des objectifs d'une session, il se mérite la note de 70 % !

Imaginons Gilles, un enseignant de mathématique qui bâtirait ses évaluations ainsi :
30 % : Questions triviales
50 % : Questions dans le style des exercices faits et proposés
20 % : Questions plus complexes exigeant un transfert.

On peut alors imaginer qu'un étudiant assidu dans son travail et qui a une bonne mémoire ou une bonne capacité à répéter, mais qui ne peut rien faire de ce qui diffère de ses exercices saura recevoir une note de 80 %. Mais est-il compétent ?

Non ?
Pourquoi ?
Parce qu'il répète ?
Parce qu'il reprend ?
Parce qu'il ne peut pas rebondir de ce tremplin qu'on lui a inculqué ?

S'attend-on vraiment à ce qu'il rebondisse ?
Exiger que les étudiants rebondissent, n'est-ce pas faire exploser le taux d'échec d'un cours ?

Oui ?
Alors, si on n'exige pas le transfert des savoirs dans des situations plus complexes ou tout simplement différentes de celles traitées en classe, pourquoi pénaliser un étudiant qui n'arrive pas à le faire ?

Vous me direz que c'est ce qui distinguera un étudiant qui aura 80 % d'un autre qui aura 100 %.

Très bien.

Mais si je crois que les questions triviales n'ont pas leur place et que j'accorde 50 % à la répétition et 50 % aux situations complexes et que ma collègue Julie, elle, trouve que les questions complexes sont trop difficiles et qu'elle préfère que toutes les questions de ses évaluations soient des répétitions des exercices, on comprendra qu'un étudiant qui a 80 % dans ma classe, un autre qui a 80 % dans la classe de Julie et un autre qui a 80 % dans la classe de Gilles risqueraient d'avoir des notes drôlement différentes s'ils étaient dans la même classe.

(Souriez, pour le calcul de la cote R, ces étudiants seront considérés dans le même groupe... ce qui fait que les étudiants de la classe de Julie seront avantagés et les miens pleureront de ne pas pouvoir entrer en médecine.)

Dans la même veine : un étudiant qui réussit les questions triviales, qui arrive à commencer les autres questions sans les résoudre complètement (on lui donnera des points pour ses départs même s'il ne finit pas la course) pourrait-il réussir à accumuler suffisamment de points pour atteindre la note de passage ?

Voilà toute la comptabilité de l'évaluation sommative et ce grand flou qui existe et qui fait en sorte que la plupart du temps nos évaluations ne sont pas équivalentes... et que les notes ne veulent pas dire grand-chose.

Finalement, la nouvelle venue : l'évaluation certificative, celle qui certifie !

Cette évaluation est basée sur le jugement professionnel de l'enseignant. Elle repose sur la plaidoirie de l'étudiant en évaluation, sur les preuves accumulées et répond à la question : l'étudiant a-t-il, oui ou non, développé la compétence.

Parce qu'entendons-nous : on est compétent ou on ne l'est pas. On ne peut pas être compétent à 70 %.

Or, la ligne entre la compétence et l'incompétence est le seuil minimal de réussite. Une liste descriptive précise de ce qu'un étudiant doit pouvoir accomplir pour être considéré compétent.

Pour illustrer la chose de façon simpliste, imaginons que pour un cours donné le seuil minimal de réussite soit :

- Être capable de courir 100 m en moins de 2 minutes et
- Être capable de nager sur une distance de 500 m sans arrêt.

Imaginons qu'un étudiant n'arrive pas à nager 500 m. Après 450 m, il n'en peut plus. Cependant, il court le 100 m en 10 secondes. On lui donne la certification ou pas ?

En évaluation sommative, il passerait sans doute le cours (Il irait chercher 50 % en course et au moins 10 % en natation, donc il passerait.)
En évaluation certificative, s'il n'a jamais réussi à nager le 500 m, il ne franchit pas le seuil minimal de compétence, donc il échoue.

Simple, n'est-ce pas ?
Eh oui, c'est la lumière au bout du tunnel, la direction à suivre.

Mais n'oubliez pas : pas de paralume et le béton s'effrite.

Si au primaire et au secondaire, les parents veulent voir les notes et les moyennes, au Cégep, ce sont les universités qui veulent pouvoir paresseusement positionner les étudiants pour choisir les meilleurs. Elles veulent donc des mesures de positions : du quantitatif, des moyennes, des écarts types, des indices de force du groupe, bref des chiffffffres.

Le message qui est donc envoyé aux enseignants du cégep est donc simple : construire des évaluations des compétences certificatives-sommatives.

Devant un tel kōan, on reste zen.

Tout le monde change le mot sommatif pour certificatif et garde l'évaluation sommative comme celle qui compte. Parce que avec plus de 100 étudiants, la correction demande beaucoup de temps et comme la session avance rapidement, il est rare que les évaluations sommatives soient formatives. Donc finalement, dans les faits, une évaluation certificative = une évaluation sommative, c'est quand ça compte et une évaluation formative, c'est quand ça ne compte pas. Bref, plus ça change, plus c'est pareil.

J'exagère ?
Pfffffff : demandez donc à un prof de cégep quel est le seuil minimal de réussite de son cours. Il est fort probable qu'il vous réponde... 60 % !

Ce n'est pas de l'incompétence. Nous sommes spécialistes dans nos domaines respectifs et peu ou pas du tout formés en éducation. C'est pour cela que chaque prof devrait avoir une Paule.

dimanche 5 février 2012

Éducation citoyenne

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Il y a bien des choses que l'on n'apprend pas à l'école.
En fait, il y a bien des choses que l'on n'apprend pas.
Des choses que l'on suppose innées, mais qui ne le sont pas.





Il n'y a rien comme avoir un chien pour connaître les gens de son quartier.
Du moins, les autres propriétaires de chien.
On ne connait pas leurs noms, on se parle par chiens interposés.

- So, how's Inuk doing today ?

Inuk est une chienne rejetée par ses maîtres montréalais. Sur le point d'être euthanasiée, la SPCA de Montréal a contacté la succursale de l'Outaouais pour savoir si elle pouvait accepter quelques pensionnaires de plus. Inuk a donc été conduite en Outaouais avec une meute de huskys à un moment où la voisine me reprochait d'héberger des marmottes. Nous nous sommes regardées et nous nous sommes comprises. J'ai troqué ma marmotte contre ses yeux bleus. Cela n'a pas réglé mon problème de trous. Mais elle est maintenant ma chienne. Pas ma fille, pas mon bébé, ma chienne, mon loup.

Madame Franky était fort gentille. Hélas, le cancer du poumon l'a emportée et comme Monsieur Franky n'a pas la santé pour promener Franky, c'est un vétéran qui le fait. Un homme étrange qui passe sa retraite à promener des chiens, beau temps, mauvais temps.

Monsieur Angus est intéressant. Il organise des concerts classiques. Il promène son chien avec une longue corde... et Angus adore laisser un souvenir de son passage à Inuk. Autant que Inuk en laisse toujours un à Franky. Le hic, c'est que Monsieur Angus laisse la nature pourvoir au souvenir de son chien. Bon, j'ai des sacs.

Je suis terriblement sauvage. Je déteste les conversations de voisinage. Par conséquent, je ne promène jamais mon chien pendant les "heures de pointe". Je pars alors que les lampes des chaumières se ferment pour la nuit. Il n'y a plus un chat. Parfois des ratons laveurs. Souvent des moufettes. Mais bon, l'hiver, elles dorment ! L'avantage à promener son chien la nuit, c'est que je peux laisser Inuk courir... parfois après les lièvres, mais bon... Si je délaisse la laisse, je ne pars jamais sans mes sacs. Évidemment, me direz-vous... mais est-ce si évident que ça ? Demandez à Monsieur Angus.

Inuk, comme moi, adore l'hiver et sa condition de husky lui permet de supporter des -30°C très longtemps. Cette année, nous avons un hiver magnifique. Bien sûr, on pourrait avoir plus de neige, mais il fait beau et très doux. Peu de journées sous -10°C. Difficile de rester à la maison par un temps pareil. Alors, Inuk et moi envahissons les bois.

Bien que les boisés du secteur disparaissent sous la coupe à blanc des promoteurs immobiliers depuis la fusion municipale, nous en avons encore quelques grands et beaux. Des lieux extraordinaires pour les propriétaires de chiens qui, comme moi, aiment laisser leur chien courir en toute liberté.

J'ai découvert récemment un magnifique boisé menacé de disparition. À l'orée, un petit sentier mène à une clairière qui est un véritable parc à chiens. J'y ai déjà vu plus d'une vingtaine de chiens qui rapportaient la baballe à leurs maîtres. Inuk ne ramène rien, sinon des os qu'il lui arrive de déterrer. Inuk est un chien de traineau. Pas un chien de tête, mais un chien qui ouvre la marche et qui aux carrefours guette mon regard pour savoir quelle direction prendre. Ses gènes de berger allemand la rendent obéissante. Un husky pur ne peut pas être promené en laisse (à moins de tirer un traineau, de faire du ski-jöring ) et il ne peut pas être lâché en liberté sans qu'il ne prenne le large.

C'est en rentrant dans le sentier de ce boisé aux chiens qu'une dame m'interpelle alors que j'attends le signal de mon GPS (parce que mon trouble d'orientation spatiale est suffisamment important pour que je me perde dans ma maison, alors je ne pars jamais sans au moins un GPS... deux quand je suis vraiment en terres inconnues et plusieurs piles de rechange).

- Madame, est-ce que c'est votre chien qui a laissé ça ?

Et la dame m'explique qu'elle habite en face du boisé et que, avec tous les chiens qui y circulent et tous les propriétaires qui y laissent les souvenirs en se disant que la nature y pourvoira, le printemps est tout simplement insupportable, le sentier et l'entrée du boisé devenant une fosse à purin de chiens.

Peut-être faudrait-il y ajouter des poubelles ? Une chose est certaine, c'est que, étant donné la quantité de chiens et le nombre de gens et d'enfants qui circulent dans ce boisé, tous les propriétaires de chiens devraient avoir le civisme de ramasser les traces de leurs chiens !

Eh bien non.

Il en est de même dans les passages piétonniers de mon quartier. Au moins, cet hiver, on y a laissé plusieurs poubelles (qui souvent ne sont pas vidées de l'hiver). Mais les hivers passés, certains passages devenaient de véritables défis. Mal éclairés la nuit, on préférera faire le détour plutôt que de risquer d'y salir ses chaussures.

Je suppose que ça commence par un Monsieur Angus ou une Madame Franky qui n'a plus de sacs et que l'hiver empêche de retourner sur place. Puis, un deuxième. Puis, quand arrive le troisième, son propriétaire se dit qu'il y a déjà deux trucs à ramasser, alors jamais deux sans trois. Puis le sentier devient toilette canine.

Puisque certains parcs interdisent les chiens même en laisse, je suppose qu'un jour, les employés de la ville en auront marre de nettoyer et que les chiens ne pourront être promenés qu'en certains endroits bien délimités. Tout ça, parce que certains n'auront pas compris qu'ils sont responsables de leurs chiens et du respect des lieux qu'ils fréquentent.

Paris a des motocrottes... peut-être pourrions-nous avoir des motoneiges-crottes ?!!! Nan !

mercredi 1 février 2012

Évaluation transparente

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Source : mathworld.wolfram.com