Passe-temps (avec indice et solution)

Vous en avez assez de ces Sudoku insipides ? Vous avez envie d'un vrai défi ? Ne cherchez plus, voilà la grille qu'il vous faut !



Le jeu est en fait l'ancêtre du Sudoku. Il faut y placer tous les entiers de 1 (qui est ici placé au centre de la grille) à 81. Cette unique règle rendant l'exercice ridicule et idiot, il nous faut ajouter une contrainte qui permettra de distinguer les amateurs des professionnels.

Le jeu consiste donc à remplir la grille en utilisant les entiers de 1 à 81 de sorte que la somme de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale soit la même. C'est ce qu'on appelle un carré magique normal.

Quoi, ça vous fait penser au cube Rubik ? Nan !

Solution et truc au prochain billet. En attendant, essayez de le faire et analysez votre réaction devant l'exercice. Oh que je serais curieuse de lire vos pensées.

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La blogosphère étant bien tranquille ce soir, je crains que la planète entière, comme Nicholas, tente de résoudre ce carré magique. C'est très bien. Ça vous changera des insipidités que l'on présente à la télévision.

Mais avant que vous vous tiriez les cheveux de la tête, voici ce qu'il fallait découvrir.

Additionner des nombres, c'est comme additionner des poids. On peut donc imaginer qu'au lieu d'inscrire le nombre dans la case, on y place plutôt des pièces de 1 $. Il y aurait donc une case avec un "loonie", une autre avec 2 "loonies", une autre avec 3, et blablabla jusqu'à une case avec 81.

(Bon, pour les plus avaricieux, combien y a-t-il de dollars sur le plateau ?)

Comme le poids total de chaque ligne, de chaque colonne de chaque diagonale est le même, notre plateau est parfaitement balancé. Il n'y a pas plus de poids d'un côté que de l'autre.

Le carré magique que nous avons ici est d'ordre impair. Il y a donc une case centrale (5e ligne, 5e colonne). Comme notre plateau est équilibré, cette case centrale est le centre d'équilibre. On pourrait facilement imaginer un artiste du cirque du Soleil placer un bâton sous cette case et transporter en équilibre au bout de ce bâton le plateau magique. On pourrait aussi enlever les sous qui sont placés sur cette case sans changer l'équilibre. Bon, les sommes ne balanceraient plus, il y aurait un trou dans le budget, mais l'équilibre sera intact.

Par conséquent, il est impossible qu'il y ait un 1 au centre d'un carré magique normal. Le seul nombre qui peut être placé au centre, c'est le centre d'équilibre de tous nos nombres. Et ce centre d'équilibre, c'est la moyenne.

Vous auriez préféré une belle preuve mathématique ? Ah, c'est là qu'on reconnait les amateurs de films de peur ! Tenez, amusez-vous plutôt à trouver le centre de n'importe quel carré magique normal d'ordre n impair. En 2 lignes.

Maintenant, au cas où vous auriez vraiment passé du temps à résoudre ce carré (personne n'a trouvé l'exercice trop rebutant ?), déplaçons le 1. Gardons le au centre, mais sur la dernière ligne. Vous connaissez le centre, le milieu de la dernière ligne, il ne vous reste qu'à résoudre. Ce carré magique est celui-là possible.




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Il est maintenant temps qu'on en finisse avec cette affaire !

Avez-vous trouvé le 41 du centre ? Comment ? En additionnant tous les entiers de 1 à 81 et en divisant cette somme par 81 ? C'est bien.
Je suppose aussi qu'ayant réalisé qu'il fallait équilibrer le plateau, le 81 allait nécessairement au centre de la première ligne ? C'est très bien.
Il ne reste plus que 78 nombres à placer...

Bien que devinant que le 2 sera opposé au 80 par rapport au centre, le 3 au 79 et ainsi de suite, il n'est pas évident de savoir où placer quoi. Mais, il existe un truc que je vous donne drette-là !

Ce truc fonctionne pour tous les carrés magiques normaux d'ordre impair (c'est-à-dire dont les nombres vont de 1 à n², n étant impair. Ce truc est comme une vieille danse, une valse euh... à trois temps, lente et langoureuse. Un pas à droite, un pas en arrière, on pose. Un pas à droite, un pas en arrière, on pose. C'est tout !

- Mais qu'est-ce qui arrive si on sort du plancher de danse ?
- On revient de l'autre côté, comme dans Pac-man !
- Mais qu'est-ce qui arrive si on pile sur quelqu'un ?
- Qu'est-ce que vous faites sur un plancher de danse quand vous pilez sur les pieds de quelqu'un ? Vous vous tassez ! Donc remontez d'une case avant de refaire votre mouvement.
- Ça marches-tu tout le temps ?
- Oui, à condition d'avoir un nombre impair de case dans les lignes (ou colonnes, c'est un carré, pardi !).
- Ouin, mais si mettons que je décide de faire un carré de 91 x 91, comment je fais pour vérifier si ça marche ?
- Y a des points de contrôle possibles. Par exemple, ton centre.
- Ben là, je ne suis pas pour calculer la moyenne des chiffres de 1 à 91x91 euh 8281, c'est ben trop long !
- Ah... la paresse a un prix...
- En plus, je ne suis pas pour vérifier si ça marche pour mes 91 lignes, mes 91 colonnes et mes 2 diagonales, c'est bien trop long !
- Vous pouvez toujours prendre un échantillon et vérifier. Les statistiques, c'est pas juste pour les sondages politiques !
- Ben là, peut-être que dans mon échantillon, je ne tomberai pas sur la ligne qui ne marche pas.
- C'est effectivement l'inconvénient des sondages par rapport au recensement.
- Alors, comment on fait pour montrer que ça marche sans avoir à tout calculer ?
- Ah... la paresse a un prix...
- Késsé que tu veux dire ?
- Je veux dire que si vous voulez être paresseux et arriver à des résultats, il vous faudra être astucieux. Mais finissons d'abord notre carré. Euh, on commence par lequel ?
- Késsé que tu veux dire ?
- Ben le 9 x 9 ou le 91 x 91 ? Ok, ne paniquons pas. On va commencer par le "petit". On est sur le 1 en bas au centre. Un pas à droite, un pas en bas. Et hop, on sort du tableau ! Ça commence bien. On se retrouve donc en haut de la 6e colonne. On y pose le 2. Un pas à droite, un pas en bas, on pose le 3. Un pas à droite, un pas en bas, on pose le 4. Un pas à droite, un pas en bas, on pose le 5. Un pas à droite... zut on est sorti... on se retrouve donc dans le premier élément de la 4e ligne, un pas en bas, on pose le 6. Continue. Le 7, le 8, le 9.



Ok, regardez bien. Du 9, un pas à droite, un pas en bas, mais il y a le 1 qui est là. On retourne donc au 9, on monte d'une case, on pose le 10 et on reprend la danse.




Et on continue. Quand le 41 se placera au centre, on saura que jusqu'ici, ça va.



Pour le carré 91 x 91, c'est le même principe, mais ça prend un peu plus de temps... En fait, à 2 nombres par seconde, ça devrait vous prendre un peu plus d'une heure ! Ce qui n'est tout de même pas si long que ça.


- Ok, mais ça serait quoi le centre du carré de 91 x 91 ?
- Ben la moyenne de 1, 2, 3, ... jusqu'à 8281.
- Ok, pis vite de même, ça donne quoi ?
- Pour calculer la moyenne, on additionne tous les nombres et on divise par le nombre de nombre. Donc j'additionne 1 + 2 + ... jusqu'à ton nombre au carré et ça, ça me donne un nombre. Mettons S.
Alors S = 1 + 2 + 3 + ... + n².
Mais c'est aussi la même affaire que n² + ... + 3 + 2 + 1.

- Arrête de perdre du temps !
- Parfois, il faut perdre du temps pour en gagner... Regardez :




- Wow !
- La légende dit que Gauss aurait pensé à faire cela à 10 ans. Donc pour la moyenne, on divise par n² et on obtient la médiane ! HA!HA!HA!
- Je ne vois pas ce qu'il y a de drôle là-dedans ?
- C'est que dans une distribution symétrique, la moyenne est égale à la médiane.




- Ben pourquoi tu t'es compliqué la vie à calculer la moyenne d'abord ?
- Ben parce que si vous connaissez la somme de tous les nombres du carré, vous connaissez forcément quelle sera la somme de chaque ligne, de chaque colonne, de chaque diagonale.
- Hein ?
- La grosse somme S, c'est la somme de la somme des lignes qui est s. On a donc S = n*s. Ainsi chacune de tes additions doivent donner :



- Et n'apprenez pas ces formules par coeur. Retenez simplement le truc de Gauss. Il est fort pratique. En finance en particulier.


Ainsi, d'un Sudoku, on peut arriver à un carré magique qui nous amène à un exercice de faisabilité (car à l'impossible, nul n'est tenu), à parler d'équilibre, de physique, de centre de masse, de mesure de tendance centrale, de série arithmétique, de mathématisation, d'algorithme (on pourrait d'ailleurs démontrer que l'algorithme fonctionne pour tous les carrés magiques normaux d'ordre impair). Mais ce n'est pas tout !

Cet algorithme est celui de Simon de La Loubère, envoyé de Louis XIV en Thaïlande. À cette époque, la France voulait coloniser ce pays qu'on appelait le Siam pour garder son monopole des épices. Le carré magique est chinois. La Loubère a-t-il trouvé l'algorithme ou sont-ce ces hôtes qui le lui ont appris ? L'histoire a souvent la couleur très occidentale. On commence enfin mais trop peu à entendre parler de l'histoire des mathématiques arabes, chinoises, africaines. Quoiqu'il en soit, l'algorithme a été envoyé au roi.

Imaginez un fonctionnaire qui envoie à Stephen Harper les codes pour réussir un jeu. Il les mettrait sans doute au recyclage avec les livres que lui envoie Yan Martel ! Mais, du temps de Louis XIV, la France est très puissante, Versailles vient d'être inauguré, les nobles y vivent, jouent dans les salons, discutent, s'ennuient et cherchent de nouveaux divertissements, car ils ne travaillent pas vraiment. C'est à celui qui attirera l'attention du roi. À celui qui gagnera la chance d'être invité à tel spectacle, à telle activité royale. Louis XIV se dit que tant que les nobles se divertissent, ils ne complotent pas contre lui.

On ajoute donc à la liste, politique et histoire... à croire que les carrés magiques sont diaboliques !