jeudi 30 juillet 2009

Le cercle trigonométrique

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Le théorème dit de Pythagore était connu des Égyptiens et des Chinois bien avant qu'il ne soit formulé par les Pythagoriciens. Rappelons-le une dernière fois :

Le carré de la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des longueurs des cathètes. C'est dire que si a et b sont les longueurs respectives des cathètes et c la longueur de l'hypoténuse,

a² + b² = c².

Entre le premier énoncé du théorème de Pythagore et sa formule, il s'est écoulé plus d'un millier d'années d'histoire des mathématiques, le temps d'arriver à Descartes.

(De késsé une cathète ? Ben, c'est un des deux côtés du triangle rectangle qui n'est pas l'hypoténuse, les côtés adjacent à l'angle droit quoi. Je suis d'accord, c'est laid comme mot, d'autant plus qu'il est féminin. Une cathète ! Ça vient du grec káthetos qui voudrait dire "lignes perpendiculaires", alors comme les côtés qui forment l'angle droit d'un triangle rectangle sont forcément perpendiculaires, eh bien, c'est le terme qui convient le mieux, même s'il est laid. Dans plusieurs langues, on appelle les cathètes les jambes du triangle rectangle. Plus sexy et moins têteux... mais en français, c'est quand on n'a pas de tête qu'il faut avoir des jambes.)

Comme il a été démontré dans le billet précédent (et il existe des centaines de démonstrations différentes), le théorème de Pythagore est vérifié pour n'importe quel triangle rectangle. En particulier, il est vrai pour tous les triangles rectangles dont l'hypoténuse est de longueur 1. Dans ces triangles particuliers, on obtient a² + b² = 1.

Imaginons quelques uns de ces triangles rectangles :

Il y a d'abord les cas dégénérés : une hypoténuse de longueur 1, une cathète de longueur 1 et l'autre de longueur 0. Ok, c'est de la triche.

Il y a bien sûr, l'isocèle (iso = même, scèle = jambe, l'isocèle a les jambes de la même longueur, c'est dire que les autres triangles sont boiteux). Pour la coupe du pantalon, la longueur est de...

Si a = b, alors a² + b² = 2a² = 1. Donc a = 1/√2 ou pour les plus vieux qui ont développé une allergie aux radicaux des dénominateurs, √2 / 2. Vous dites 0,707 ? Vous avez bien compris, mais vous démontrez une dépendance à la calculatrice, ce qui est très grave. Vous risquez de finir informaticien ou pire, ingénieur.


Il y a aussi celui qui est bien pratique en construction ou en dessin, celui qui a une cathète dont la longueur est la moitié de la longueur de l'hypoténuse. Son avantage tient du fait que dans ce triangle, en plus d'avoir un rapport 1:2, on a les angles de 30°, 60°, 90°. Joli. Donc, dans le cas qui nous préoccupe, si l'hypoténuse mesure 1, une cathète ½, l'autre mesurera... √3/2.

Évidemment, des triangles rectangles dont l'hypoténuse est 1, il y en a des tonnes de copies et si on les rassemble tous, qu'on les épingle par un sommet opposé à l'angle droit, on obtient... on obtient...

... un cercle que l'on appelle cercle trigonométrique.



Quand René Descartes aura la brillante idée de définir le repère cartésien, quand l'horizontal portera le nom d'abscisse et sera représenté par la variable x, que la verticale portera le nom d'ordonnée et sera représentée par la variable y, le théorème de Pythagore appliqué aux triangles rectangles d'hypoténuse de longueur 1 deviendra x² + y² = 1, l'équation d'un cercle de rayon 1 centré à l'origine qu'on appellera plus simplement cercle trigonométrique.

Il est possible que le cercle trigonométrique soit synonyme pour certaines personnes de supplice, d'apprentissage par cœur des coordonnées des angles remarquables mesurés en degrés ou en radians. Vous aviez raison de pleurer. Tout cela ne sert pas à grand chose, mais, dans la vie, il faut souffrir pour être beau...

√2 est plus beau et plus juste que 1.4142135623730951, même si dans les faits, après vous couperez le ruban à environ 1,4. Mais c'est la différence entre les mathématiques et les sciences appliquées, entre la théorie et la pratique, entre l'absolu et le relatif, entre la perfection et l'erreur, entre la quête de l'inaccessible étoile et la résignation à être né pour un petit pain.

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