vendredi 31 juillet 2009

Identité de Pythagore

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Ils s'appelaient "triangles semblables". On les nomme maintenant "triangles homothétiques".

(Soupir.)

Il s'agit de triangles ayant au moins deux angles respectivement égaux. On dit officiellement maintenant que leurs angles homologues sont congrus. Forcément, la somme des angles d'un triangle donnant toujours 180°, si deux angles homologues sont congrus, c'est que les trois angles le sont. M'enfin.

(De késsé ? Homologue ? Homo = semblable, logue = rapport. Dommage que le grec ne soit plus enseigné, n'est-ce pas ? Il s'agit des angles ou des côtés correspondants.)


La beauté des triangles semblables est que les côtés homologues sont proportionnels.

Par conséquent, le rapport des mesures de deux côtés homologues est le même pour tous les triangles semblables.

Cela étant vrai dans tous les triangles, c'est forcément vrai dans les triangles rectangles et ces rapports sont tellement utiles qu'on a décidé de les nommer.

Soit θ, un angle du triangle rectangle. On nomme le côté qui lui fait face côté opposé et celui qui le touche, mais qui n'est pas l'hypoténuse, côté adjacent. L'hypoténuse se nomme hypoténuse. hi!hi!hi!



Par définition :

cosinus θ = longueur du côté adjacent / longueur de l'hypoténuse

sinus θ = longueur du côté opposé / longueur de l'hypoténuse

Cela suffira à nous amener aux fonctions hyperboliques.

Pour votre culture, le troisième rapport utile se nomme tangente.

tangente θ = longueur du côté opposé / longueur du côté adjacent

Voilà qui suffit. Ces rapports trigonométriques sont abrégés sur les calculatrices par les touches SIN, COS et TAN. Les calculatrices francophones (!!!) devraient écrire plutôt sin, cos, tg.

Bien sûr, comme le rapport se fait en choisissant deux côtés parmi les trois du triangles et qu'il faut dans les rapports distinguer le numérateur du dénominateur, il doit donc y avoir un arrangement de 2 parmi 3, soit 6 rapports trigonométriques différents (admirez mon côté "renouveau pédagogique", je mélange un peu de combinatoire à la géométrie, histoire de bien compliquer synthétiser les choses.)

Les trois manquants sont :

sécante θ = sec θ = longueur de l'hypoténuse / longueur du côté adjacent

cosécante θ = cosec θ = longueur de l'hypoténuse / longueur du côté opposé

cotangente θ = cotg θ = longueur du côté adjacent / longueur du côté opposé

Comment se fait-il que ces rapports n'apparaissent pas sur les calculatrices ?

Réponse bête : Si ils servaient, elles les auraient ! Mais bon, certains donnent des noms à leur poisson rouge ou à leur vélo, alors pourquoi ne nommer que trois rapports quand on en a 6 !

Forts de tous ces enseignements, revenons au cercle trigonométrique et au théorème de Pythagore.

On a x² + y² = 1.

Or, si on prend θ comme étant l'angle au centre, c'est-à-dire l'angle du sommet pointé à l'origine et dont l'un des côtés épouse l'axe des x, on aura, puisque la longueur de l'hypoténuse est 1

cos θ = x
sin θ = y





De là, l'identité de Pythagore :

cos² θ + sin² θ = 1.





Source des images : intellego.fr et wikimedia.

6 commentaires:

Gaël PLANTIN a dit...

Euh, de quoiqu'elle cause ?

Et en français dans le texte ?

;o)))

le bateleur a dit...

mais si, on cause encore un peu grec en maths
mes élèves par exemple connaissent le diorthotétragone
(qui peut être ou pas un trapèze rectangle suivant que les angles droits sont opposés ou consécutifs)

Missmath a dit...

di ortho tétra gone : c'est joli comme tout... faudra bien que je lui trouve une place la session prochaine à celui-là !

Et Gaël, tu as bien raison et c'est exactement ce que je me suis dit quand je me suis relue. Tout cela aurait été beaucoup simple avec une animation... mais comme je ne suis pas chez moi...

Ouin... mauvaise excuse.

Gaël PLANTIN a dit...

Comment, une progressiste comme toi ?

Tu n'utilises pas des outils WEB2.0 via satellite, au sommet d'un arbre pendant que l'ours dévore ton petit-déjeuner en bas ?

Je suis déçu, mais déçu...

;o))))))))))))))))))))))))

Pierre F. a dit...

Bonjour MissMath,

C'est si simple les math quand on a les bons éléments pour comprendre. Quand je pense aux pirouettes que j'ai fait pour apprendre par coeur toute sorte de formules, je me dis que çà aurait été simple si on me les avait expliqué comme çà.

Missmath a dit...

Voilà qui est bien gentil, Pierre, mais sur ce billet, j'aurais pu faire encore mieux.