mercredi 21 novembre 2007

Premiers flocons

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Quel immense plaisir que de se lever le matin et de constater que tout à coup tout est blanc : les premiers centimètres de neige sont tombés. La grisaille a fait place à la lumière. Pour célébrer cela, ouvrons vite le flocon !

Imaginez.

Il s'agit d'une courbe fermée et continue en tout point, mais dérivable nulle part. Il est tout à fait possible d'en peindre l'intérieur avec une quantité de peinture raisonnable. Par contre, toute la peinture de l'univers n'arrivera jamais à dessiner tout son périmètre. C'est de la magie !

Il commence simplement avec un triangle équilatéral. Puis, chaque côté fait naître un autre triangle équilatéral dont la base, centrée sur le côté, en mesure le tiers. Chaque itération répète cette renaissance éternellement. C'est de la magie !



Allez, matheux, à vos notions de convergence et démontrez que l'aire du flocon de Koch est finie et son périmètre infini.

C'est de la magie mathématique !!!

1 commentaires:

PB a dit...

Je me lance dans les calculs :

Je vais supposer que le triangle de départ est de côté 1.

Je note p(n) le périmètre de la n-ème figure. Donc p(1)=3 (périmètre du triangle).

Notons c(n) le nombre de côtés de la n-ème figure.
Notons l(n) la longueur des côtés de la n-ème figure.

Par exemple c(1)=3 et l(1)=1.

On a l(n+1)=l(n)/3, la suite (l(n)) est géométrique de raison 1/3 donc :

l(n)=1/3^n

D'une figure à la suivante, chaque côté donne naissance à 4 côtés. Donc c(n+1)=4c(n), la suite (c(n)) est géométrique de raison 4. Donc :

c(n)=3*4^n

Finalement :

p(n)=c(n)*l(n)=3*4^n/3^n=3(4/3)^n. Il est clair que (p(n)) diverge vers +infini.

Passons à l'aire. Notons a(n) l'aire de la n-ème figure.

Un petit rappel : l'aire d'un triangle équilatéral de côté A est (A^2)*rac(3)/4.

On posera k=rac(3)/4.

En particulier a(1)=k.

En passant de la n-ème figure à la (n+1)-ème figure, on ajoute c(n) triangles de côtés l(n+1). Ces c(n) triangle représente une aire de :

c(n)*(l(n+1)^2)*k=3*4^n*(1/3^(n+1))^2*k=k(4/9)^n

On pose t=4/9.

Donc :

a(n+1)=a(n)+k*t^n

Donc :

a(n+1)-a(n)=k*t^n

On en déduit :

a(n)=a(0)+(a(1)-a(0))+(a(2)-a(1))+...+(a(n)-a(n-1))
a(n)=k+k*t^0+k*t^1+...+k*t^(n-1)
a(n)=k+k(1-t^n)(1-t)

Voilà la formule pour l'aire !

Et si on fait tendre n vers +infini, on voit que a(n) tend vers :

k+k/(1-t)

Il reste à calculer cela en remplaçant k et t par leurs valeurs.