jeudi 29 octobre 2009

Les irréductibles

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Nous sommes en 50 avant Jésus-Christ, toute la Gaule est occupée par les Romains... Toute ? Non !


Car on y trouve un village d'irréductibles Gaulois.



Astérix a aujourd'hui 50 ans. Une bande dessinée délirante où chaque page cache des jeux de mots délicieux et de coquins clins d'oeil à notre histoire et à notre société.


En mathématique, nous avons aussi nos irréductibles.

On retrouve dans les anneaux des éléments irréductibles, il existe en algèbre des représentations irréductibles, en géométrie algébrique, des cycles irréductibles, en probabilité, des chaînes de Markov irréductibles. Considérons les plus abordables.

D'abord, tout le monde connaît les fractions irréductibles, c'est-à-dire les fractions simplifiées, celles dont le numérateur et le dénominateur n'ont pas de diviseur commun (excepté 1 !!!), celles dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. Par exemple 3/4 est une fraction irréductible. 8/10 n'en est pas une. On peut en effet la réduire (simplifier) à 4/5 (qui, elle, est irréductible). Par extension, on dira que des nombres sont irréductibles lorsqu'ils sont premiers entre eux.


Quiconque a fait un peu d'algèbre a sans doute su factoriser des polynômes. C'est d'ailleurs souvent quand arrivent les premiers cas de factorisation que le clivage mathématique commence et que les parents abdiquent et font appel à des tuteurs ! Il existe de jolies techniques pour aider à la factorisation de polynômes. Les plus belles ne sont d'ailleurs plus enseignées (nostalgie, quand tu nous tiens...) et pour cause, les ordinateurs font le travail sans effort.

La factorisation consiste à écrire un polynôme comme le produit de polynômes de degré inférieur.

Par exemple, x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3).

À quoi ça sert ?

Pour Monsieur et Madame Tout-le-monde, à rien.
Mais pour quiconque travaille avec des expressions algébriques, la factorisation est aussi utile pour simplifier les développements que 3 / 4 l'est pour simplifier la visualisation de 1371 / 1828.

Un polynôme est irréductible quand il ne peut pas être factorisé.

Il y aurait beaucoup à dire sur les polynômes irréductibles et je me promets bien d'y revenir pendant les vacances. Les polynômes irréductibles pavent la route qui mène à la puissante théorie de Galois.

L'irréductible Galois !

6 commentaires:

Blagu'cuicui a dit...

Magnifique message! (Vos élèves doivent vous apprécier si vous faites cours avec ce genre d'anecdote).

Sinon:

"Un polynôme est irréductible quand il ne peut pas être factorisé."

Vous n'avez pas défini la factorisation ;). Mais madame je peux toujours factoriser par un inversible de l'ensemble où je me situe :P. Et oui, il y a des élèves chiant aussi :P.

En tout cas, le livre d'or est sympathique à lire même s'il est dommage qu'il n'est pas réellement d'histoire comme à l'époque de Goscinny.

Moukmouk a dit...

Quelle démonstration de la beauté des mathématiques. Quel dommage que je sois aveugle à cet art.

Moukmouk a dit...

Que veux-tu les ours ne comptent que les phoques (qu'ils mangent entier) et aussi un peu sur les autres.

Missmath a dit...

@Blagu'cuicui : Dommage que tu sois déjà plus grand que le maître, car des élèves chiants comme toi, j'en prendrais des classes pleines. Ceci dit, je suis d'accord avec toi : on n'a jamais pu remplacer Goscinny.

@Moukmouk : On peut regarder des ours pendant des heures, admirer leur force, leur beauté, leurs jeux en restant toujours humbles et respectueux envers eux. Avec le temps, on finit par les connaître. Certains arrivent même à les dompter. Il en est de même avec les mathématiques.

Jonathan Livingston a dit...

Hé je suis preneur pour la suite!

Merci Miss Math de combler mes lacunes... ou de me rappeler ce que j'ai oublié...

Je ne savais pas que la factorisation était si difficile...
(Je blague!)

Pourtant, deux paires de parenthèses, on plante nos x, on regarde le terme constant et ses facteurs, on sélectionne la paire qui a l'air de créer le terme intermédiaire quand on les additionne... on fait quelques tests mentalement. Maudit qu'on avait le temps de jaser en cours de math tellement c'était facile quand tu avais bien appris au départ à additionner, soustraire et tes tables et que le tout était fluide, fonctionnel... Il restait à passer le problème au scan, repérer le pattern et ça allait tout seul...

Les temps changent, les jeunes ne veulent même plus apprendre leur division parce que c'est ben qu'trop plate et inutile. Non, c'est plus simple que ça: ils ne savent pas leurs tables pour commencer et ne peuvent gérer tout ce truc de «combien de fois dans» et de soustraction... et ils ont une mautadine de belles excuses, ça sert à rien, la calculatrice le fait... Pis, on est une génération de gnagnan qui leur répond: ben oui heing, c'est vrai que c'est inutile, pauvre ti pit...

Évidemment, que parti de même, y a pas grand chance de la rencontrer l'utilité des maths... quant à la beauté, on peut rêver...

La technologie rend paresseux et paradoxalement moins efficace et même insensible...

Je suis assez Irréductible. Les Romains aujourd'hui, connards bien payés, planqués (oui aussi devant leur portable!) et incompétents (même s'il me font des maudits beaux graphes excel qu'ils ont mis 3 jours à pondre en couleurs), avec une mentalité de Caius Bonus, cibole que j'en croise...

D'ailleurs, j'aime bien les titres des films de Arcand, parce que le parallèle n'est pas si con...

Chic Chic des Romains! Clatchhhhh!

Missmath a dit...

Cher Jonathan,

Je suis bien contente de lire que la facto était d'une simplicité désarmante pour vous. Il est vrai que si certains y comprennent la technique, la plupart de nos jeunes n'en voient pas l'utilité (et ce n'est certainement pas les contextes hautement ridicules de nouveaux manuels qui les convaincront du contraire).

Sinon, je ne peux pas contredire un irréductible des tables de multiplication. Je ne lancerai pas la pierre par contre à tous nos jeunes esclaves de la calculatrice, je suis déjà assez heureuse d'en trouver au moins un par classe pour m'aider dans les calculs mentaux que j'ai bien du mal à faire. Eh oui, je suis aussi de la génération des calculatrices, mais je suis assez lucide pour reconnaître que ma déficience en calcul mental est un handicap terriblement gênant dans les mathématiques de tous les jours.