Le cadeau de Monsieur Marion

Il est très joli :

x(t) = sin(2t) - 6sin(5t)
y(t) = ( cos(4t) )^5 - 1.1cos(t)
0< t <2π


Mais de quoi t'est-ce ?

Un secret trop bien gardé.

Les sciences appliquées ne jurent que par ces équations appelées paramétriques. Nous les abordons à peine au Cégep. Bien sûr, en algèbre vectorielle, nous les traitons pour définir la droite ou le plan dans l'espace, mais nous n'en faisons pas l'analyse. C'est à mon avis une grosse lacune dans la formation des étudiants. M'enfin, ça ne dit pas ce que c'est.

Partons de très très loin.

Pour localiser un point, il faut un repère, c'est-à-dire une origine connue et un système de coordonnées.

Si vous voulez savoir où je suis
Comment me trouver, où j'habite
C'est pas compliqué
J'ai qu'à vous faire un dessin
Vous ne pouvez pas vous tromper

Nous sommes maintenant relativement habitués à localiser un point dans un repère cartésien, c'est-à-dire un système d'axes orthogonaux (axe des x, des y, des z) qui se rencontrent à l'origine.

Ainsi, si vous demandez à Monsieur ou Madame Tout le monde de situer le point (2 ; 3) sur un graphique, il appellera mon ami Descartes et vous dessinera fort probablement ceci :



Descartes a eu la brillante idée de lier les coordonnées des points par des équations ou des fonctions. Contrôler, par exemple, la coordonnée en x, établir une règle de correspondance pour l'image de ce point, la valeur en y.

Ainsi, si y = 2x, nous obtiendrons une fonction à variation constante, enfin cette chose qui, dans nos écoles, change d'appellation tous les 4 ans et que l'on nommait autrefois une droite !!! Si x = 0, y = 0, si x= 1, y = 2, si x = -3, y = -6, ...



Évidemment, l'école ne montre jamais la beauté des courbes que l'on peut obtenir en changeant les règles de correspondance, on s'attarde plutôt à l'étude sous toutes leurs coutures des fonctions simples, mais moches.

Pourtant, quand on quitte du regard les ennuyantes droites ou les serviles paraboles, on aperçoit des courbes si jolies.






Le hic, c'est que lorsqu'on commence à regarder ailleurs, on finit rapidement par en vouloir plus ou pire, procéder à l'inverse, c'est-à-dire chercher l'équation d'une trajectoire.





Tout ceci est bien joli, mais, comme vous le constatez peut-être en regardant les équations des courbes, l'affaire se complique vite.

Pour simplifier les choses, on peut décomposer le tracé de la courbe selon ses axes. Par exemple, trouver un ou plusieurs paramètres pour définir chacune des coordonnées du points.



Les déplacements du cadeau de Monsieur Marion donnent ceci : en rose, l'horizontal, en vert, le vertical et en bleu, la combinaison des deux ! (Attention les yeux !!!)





Bon, bon, d'accord, c'est assez compliqué pour ne rien y voir, alors laissons la trace de notre point bleu :







N'est-ce pas qu'il est joli ce lecteur à lunettes ?

Merci Monsieur Marion !
(Et merci à Gaël pour la question.)