Hyperbole

Habituellement, en août, lorsque l'on dit "cône", on pense à ces cornets débordant de riche crème rafraîchissante glacée.



Cet été au Québec, le ciel se prenant pour la mer projetant sur le sol des marées de pluies incessantes toutes les secondes, le mot "cône" fait davantage penser à ceci :



Rares sont les élus qui savent qu'un cône, un vrai, a pour ainsi dire la forme d'un sablier qui refuse de laisser passer le temps.



On appelle conique les figures obtenues en tranchant un cône de révolution à l'aide d'une guillotine.



On y trouve l'hyperbole.

Hyperbole... du grec hyper, qui veut dire au-delà et bole, de ballein, jeter. L'hyperbole, c'est jeter au-delà, c'est l'excès, l'exagération.

On peut définir mathématiquement l'hyperbole de plusieurs façons. Le site de Mathcurve étant une référence incontestée, une mine de renseignements essentiels que nul matheux non nul ignore, il serait ici aussi inutile de répéter son contenu que de tenter de le reprendre de manière plus concise, complète et précise.

L'équation générale de l'hyperbole (centrée à l'origine) est :




(Source : Mathcurve)


Lorsque a=b, nous avons affaire à des hyperboles équilatères (équi = égal, latère = côté). Ses asymptotes sont alors perpendiculaires, la figure est plus agréable à regarder...



... et plus facile à manipuler !



Lorsque l'on regarde l'hyperbole équilatère, la figure précédente, puisque les asymptotes sont perpendiculaires, on pourrait les prendre comme repère, c'est-à-dire faire faire une rotation de 45° à notre hyperbole pour obtenir ceci :



La rotation d'une figure peut être obtenue de façon banale à l'aide d'une matrice de rotation.



Escamotons les détails d'algèbre matricielle sur lesquels nous pourrons revenir plus tard, nous obtenons, lorsque l'on fait tourner notre hyperbole équilatère, la transformation suivante (que vous pouvez lire en diagonale !) :



Ici pour un angle de 45°, on a un triangle isocèle, donc deux jambes égales de 1/√2.

On continue donc avec ce cas particulier :



Si vous avez l'œil, vous constaterez que les deux éléments de la matrice de droite sont identiques sauf pour le signe entre les termes. Les multiplier apportera nécessairement quelque chose de joli (eh oui, ça sert aussi à ça la factorisation).



Oh oh, mais qu'est-ce que cette chose ? y = k/x ? Mais c'est une fonction rationnelle !

Mais ce n'est pas tout...

Sachant que l'intégrale définie correspond à l'aire sous la courbe (théorème fondamental du calcul), quelle est l'intégrale de la fonction k/x ? Eh oui, le logarithme naturel (qui avant Euler s'appelait d'ailleurs logarithme hyperbolique).

C'est donc dire, enfants du secondaire, que l'hyperbole, la fonction rationnelle et les logarithmes qui vous font tant souffrir et qui vous semblent si éloignés ont le potentiel de s'unir... pour le meilleur et pour le pire... et en rendant la chose un peu plus complexe, ils sont même liés aux fonctions trigonométriques. Eh oui, dans l'excès de l'hyperbole, toutte se tient.