Les poules couvent au couvent

PEMDAS.
C'est souvent tout ce qu'il reste des mathématiques inutiles apprises à l'école. Les anglophones utiliseront le truc mnémotechnique "Please Excuse My Dear Aunt Sally". Mais pourquoi faut-il donc excuser cette pauvre vieille ?

1. Parenthèses ou tout regroupement de la sorte
2. Exposants (ou les fonctions)
3. Multiplication et Division, de gauche à droite
   
4. Addition et Soustraction, de gauche à droite
   

En général, dans la vraie vie, lorsque l'on a une longue série d'opérations arithmétiques à faire, on sait où va la priorité, on attrape notre calculatrice et on casse les étapes de calcul selon leur priorité.

Par exemple.



On achète une bouteille de gin Ungava à 30$, deux bouteilles de 2πr à 35$ l'unité. Combien doit-on débourser ? (Les taxes sont incluses dans les prix.)

Gérald dira : 30$ + 2*35$ = 100$. Le compte est bon.

Thérèse prendra la calculette qu'elle a reçu en cadeau après s'être abonnée à une revue : 30+35+35 = 100. Le compte est bon.

Roger empruntera la calculette de Thérèse : 30+2*35 = 1120 $. "Ça n'a pas de bon sens !" Il prendra une calculatrice scientifique : 30+35*2 = 100 $.

Les calculatrices scientifiques (et même certaines calculettes des téléphones intelligents) connaissent les priorités des opérations, tandis que les calculettes effectuent les opérations dans l'ordre de leur arrivée. Il vaut mieux le savoir.

Car selon l'ordre d'arrivée,
30+2*35 = 1120 $
30+35*2 = 130 $
2*35+30 = 100 $.

Faudrait quand même s'entendre !
Et pour s'entendre, on a crée les priorités des opérations.

Il est tout de même étonnant qu'il n'y ait pas d'avertissement sur les calculettes.



Il y a, par contre, quelques vices cachés chez Tante Sally. Quand on sait, on sait, mais quand on ne sait pas, on peut être trompés !

Lisez la phrase suivante :

Mes fils ont cassé mes fils.

Alors, le premier "fils", vous le prononcez [fil] ou [fis] ? Et le deuxième ?

En mathématique, il y a également ce genre d’ambiguïté.

sin x² = sin (x*x) contre sin² x = (sin x)* (sin x)

Il en est de même pour sin ab qui veut évidemment dire sin (ab), alors que sin a + b doit être traduit par (sin a) + b et non par sin (a+b).

Cette différence est généralement bien connue et pour ne pas à y faire face, les logiciels et les calculatrices exigent (ou imposent) des parenthèses à l'argument. C'est à l'utilisateur de traduire l'expression qu'il veut calculer.



Ici, il faut le savoir, la longueur du trait de division indique le niveau de parenthèses.



Sur ce cas, la calculatrice effectuera les opérations selon l'ordre d'entrée, de gauche à droite. Comme une calculette. En entrant 2³² par 2^3^2, la calculatrice fera (2³)² et non 2⁽³²⁾ comme il se devrait.

Le - est quant à lui amusant à tester. On le sait : (-2)² = (-2)*(-2) = 4, alors que -2² = -1*2² = -4. On pourrait dire que c'est la priorité des opérations qui l'exige. L'exposant se fait avant la multiplication. Mais bon, quelle est la base ? Est-ce que le nombre -2 est une entité ou est-il la contraction de -1*2 ?

Pour mes calculatrices et les logiciels de calcul, -2² = -4. Par contre, avec Excel, j'obtiens +4.



Mais il y a encore plus sournois.



On a tous appris les quatre opérations arithmétiques élémentaires. Mais qui sait que l'une d'entre elle a une soeur jumelle cachée ? Qui plus est, une soeur jumelle qui ne lui est pas identique ?

Il existe en effet deux types de multiplication. La multiplication explicite (lorsque vous explicitez votre opération en indiquant un *) et la discrète multiplication implicite.

Par exemple : x*y, c'est explicite. xy, c'est implicite.

Vous me direz que c'est la même chose.

Certainement pas en programmation !



Duh !

D'accord, revenons à notre gémellité.

Posons x=3.
Alors, sans conteste, on affirmera que 2x = 6.

On constatera qu'à moins d'avoir une antiquité, les calculatrices et les logiciels reconnaissent ces multiplications implicites. Essayez 2(1+2), vous verrez. Une vieille chose (ou Excel) vous enverra une erreur de syntaxe, mais il y a fort à parier que l'on vous répondra fièrement 6.



La question qui tue : Est-ce que la multiplication implicite est équivalente à la multiplication explicite ?

Lors de vos premiers pas en algèbre, on vous aura dit que oui.
Si x=3, alors 2x = 2*x = 6.

Mais alors, si x = 3, combien vaut 6/2x ? Combien vaut 6/2*x ?

Selon la priorité des opérations, comme la multiplication et la division ont la même priorité, ces opérations doivent être effectuées dans l'ordre, de la gauche vers la droite.

Ainsi, si x=3, 6/2*x = (6/2)*x = 3*x = 3*3 = 9, toutes les calculatrices vous le diront.

Pour les besoins de la cause, ne changeons rien en posant x = (1+2).

Reprenons :
6/2*(1+2) = 3 * (1+2) = 3 * 3 = 9.

Et qu'en est-il de 6/2(1+2) ?

À la maison, tout le monde (calculatrices, Wiris, Mathematica, ...) répond 9 ou réclame un opérateur entre le 2 et la parenthèse.



Sauf que... la multiplication implicite, enfant caché de Tante Sally, a réclamé sa place dans la famille PEDMAS et elle a non seulement obtenu gain de cause, mais elle a reçu compensation. La multiplication implicite a priorité sur la multiplication explicite et la division.

Ainsi, 6/2(1+2) = 6/[2(1+2)] = 1.




Texas Instrument souligne également l'affaire.

Rassurons-nous, l'écriture tel-que-tel devrait mettre fin aux dilemmes.



Merci à Olivier pour la découverte.