Steven est un entrepreneur en construction que la pandémie a ruiné. Il a appris son métier avec son père qui, sans doute avant lui l'avait appris de son grand-père. Des bâtisseurs de génération en génération. Mais voilà, le confinement, l'explosion des prix des matériaux, les contrats à respecter, tout s'écroule.
Qu'à cela ne tienne, Steven décide de revenir à l'école et d'obtenir un diplôme en mécanique du bâtiment : climatisation, chauffage, électricité, plomberie, il est dans son élément.
Et le voilà dans mon cours.
Il sourcille lorsque je lui demande d'effectuer des opérations sur des mesures impériales. Alors que ses collègues de classe se tortillent de douleur réclamant la possibilité de convertir en métrique et l'autorisation d'utiliser une calculatrice, il hausse les épaules et répond plus vite que l'éclair : 5 pieds 3 pouces et 5/16. Le ruban à mesurer défile dans sa tête. Ce que je donnerais pour avoir un ralenti de son processus mental l'amenant à la réponse.
Pour payer son loyer, Steven travaille à deux emplois rémunérés en plus de ses études à temps plein. Des emplois difficiles et exigeants, des emplois pour adultes qui se retrouvent dans la m... et sans diplôme reconnu. Il manque donc des cours. Mais quand il est là, il est là. Trop là.
- Est-ce que le réservoir est débranché pour empêcher les demandes d'eau ?
- Quelle est la longueur du tuyau qui doit entrer dans le robinet ?
Steven avait manqué plusieurs cours lorsqu'il est arrivé dans nos exercices de toit.
Sourcillement.
- Tu y arrives ?
- Ben c'est facile, c'est un toit à 45º, alors tu fais 1.5 fois la hauteur pour avoir ce que tu appelles la rive.
- Il vient d'où ton 1,5 ?
- Ben du fait que ce soit un toit à 45º.
Les matheux auront vite saisi qu'un marteau à la main, √2 est approximativement 1.5. Avec le trait de scie, rien n'y paraît. On ne bâtit pas jusqu'à la lune !
- Ok, mais si tu n'avais pas un toit à 45º ?
- Ben, je prendrais autre chose.
- Ok, mettons que tu as un toit 6:12.
...
Évidemment, Steven est formaté pour les mesures standards. Pour le sur-mesure, ça va moins bien.
- Quand tu es en équilibre sur une ferme de toit, tu n'as pas le temps de faire des calculs, il faut que tu connaisses ton métier pour savoir où couper.
C'est avec des élèves comme Steven que je réalise le ridicule de trouver des situations mathématiques construites pour ancrer les notions mathématiques. Elles deviennent vite ridicules. Ce qu'il faut, ce sont des situations concrètes qui amènent des notions mathématiques. Les défis deviennent tout autre. La signifiance est exacerbée. L'intérêt aussi :
"Ça, c'est intéressant ! Ça nous sera très utile."
Bon, évidemment, l'analyse statistique de la pandémie ne se fait pas comme ça, bien des variables doivent être considérées et n'en sélectionner que quelques unes pour convaincre se fait dans du côté des gouvernements, des anti-vaccins, des lobbyistes des compagnies pharmaceutiques et tous les gérants d'estrade.
Alors simplifions la situation en la réduisant à deux variables, soit le fait d'être vacciné ou pas, le fait d'être infecté ou pas. Considérons Israël, puisque la nouvelle met le focus sur ce pays et que ce pays nous facilite l'analyse puisque toute sa population vaccinée a reçu le vaccin Pfizer-BioNTech.
Selon Santé Canada, l'efficacité du vaccin Pfizer-BioNTech est de 94%, avec une marge d'erreur de 4%, 19 fois sur 20 sur une population adulte. (Les tests sur les adolescents commencent avec ce vaccin, nous n'en avons pas les données.)
La réaction à la nouvelle de RTL a permis à certains de décrier la vaccination : Inefficace, à quoi ça sert de se faire vacciner si 40% des infectés sont vaccinés ?
D'autres ont préféré jouer d'espérance :
Imaginons que le coronavirus soit hyper contagieux. De ceux que l'on attrape rien qu'en y pensant, pire que la peste. Comme si cela ne suffisait pas, ajoutons qu'une seule dose de vaccin soit l'équivalent de boire un verre d'eau. On devrait alors s'attendre en étant pessimiste (en prenant la borne inférieure de l'intervalle de confiance, soit 90,3 %) à ce que 10% des vaccinés et tous les non-vaccinés contractent la COVID.
Sous ces hypothèses, le calcul est simple :
On prétend qu'en Israël 87% de la population adulte* aurait reçu les deux
doses. Donc si 10% des vaccinés et tous les non-vaccinés contractent le virus, on obtient 10%*87% + 13% = 21,7% de la population contaminée, et 8,7% / 21,7% = 40%. Voilà donc la proportion à laquelle on devait s'attendre...
40% des contaminations touchent les personnes vaccinées !
Vous aimez les scandales : allons-y !
Dans un pays dont nous tairons le nom, 100% de la population est vaccinée. Le virus entre et contamine quelques habitants. On peut alors titrer :
Toutes les contaminations touchent des personnes vaccinées !
Le hic...
Ouais, il y en a plusieurs hics.
D'abord,
pour commencer doucement, les populations comparées.
On a regardé la
proportion d'adultes vaccinés. Or les enfants et les adolescents sont
aussi frappés par le virus et ils ne sont pas exclus lorsque l'on parle
de contaminés.
En Israël, 59,37% de la population est vaccinée à deux doses.
Si on reprend toutes les autres hypothèses précédentes, on obtient alors une
proportion attendue de 13% et non plus 40%. Il y aurait donc une
erreur. Or, la seule valeur estimée dans nos calculs, c'est le taux
d'efficacité du vaccin. Déduisons-le !
Soit p ce taux et reprenons le calcul :
0,5937p / ( 0,5937p + 0,4063) = 0,40... ce qui nous donnerait un taux d'efficacité de 46% !!!
On est loin du 95 % annoncé par Pfizer...
De plus, en vrai, ce ne sont pas tous les non-vaccinés qui seront
contaminés. Quelle est la probabilité de contracter le virus ? Ça
dépend, entre autres, de l'endroit où vous habitez et à quel moment ? On devine bien qu'il est bien
moins risqué d'attraper ce vilain virus si vous vivez en ermite au
milieu de nulle part en zone verte que si vous travaillez dans un
hôpital mal ventilé d'une ville surpeuplée en zone rouge foncé en pénurie de masques et de gants. C'est ce qu'on appelle le taux d'incidence.
x étant ici la proportion de personnes non-vaccinées contaminées, y la proportion de vaccinés contaminés pour obtenir une proportion de 40% de vaccinés parmi les contaminés.
Voilà de quoi nous convaincre de refuser la piqûre.
On a tendance à croire que l'efficacité d'un vaccin correspond à la proportion de personnes vaccinées qui contracteront malgré tout la maladie. Dans notre exemple, nous avons pris l'efficacité de Pfizer (90%) et nous avons conclu que 10% de la population vaccinée serait infectée. Cela est vrai si tout le monde est contaminé, or, comme mentionné précédemment, ce n'est pas le cas.
Imaginons une population de 1 000 000 d'habitants.
Imaginons que le quart de la population est infectée par le virus. On aura alors 250 000 contaminés.
Imaginons maintenant qu'avant l'arrivée du virus, toute la population est vaccinée avec un vaccin efficace à 90%. Le virus entre et frappe le quart de la population (250 000 personnes vaccinées). Eh bien, on peut s'attendre à ce que 10% seulement, soit 25000 personnes, soient infectées.
Vous préférez les pourcentages et le sensationnalisme ?
Imaginez un virus mortel. Vous l'attrapez, vous mourrez. Kaput. Gardons les mêmes chiffres.
Sans vaccin, c'est 25% de la population qu'il faut enterrer.
Avec vaccin, c'est 2,5% de la population qui part.
Et maintenant, que vais-je faire ?
Revenons à notre ermite...
Quelles sont les chances qu'il attrape le virus au milieu de nulle part dans sa zone verte ?
Devrait-il aller se faire vacciner ?
Quelles sont les chances qu'il subisse des effets secondaires au vaccin ?
Quels sont ces effets secondaires ? Sont-ils aussi graves que le virus ?
La combinaison des probabilités et du prix à payer des occurrences s'appelle le risque. C'est l'évaluation des risques qui permet de prendre les meilleures décisions.
2020 aurait été une magnifique année de la statistique.
D'abord, le début du confinement a permis de découvrir de nouveaux talents. Parallèlement à la fabrication du pain maison et aux tartelettes portugaises, plusieurs se sont mis à compiler les données pour guetter la libération par l'aplatissement de la courbe.
On a vu souvent des merveilles de représentations graphiques dont celle-ci, virale à en croire Andrew D'Amours et voulant démontrer à quel point le Québec contrôlait bien la pandémie comparativement au Canada. À ce compte, on aurait pu ajouter la courbe du pire CHSLD. Avouez que vous la voyez bien ne jamais dépasser la courbe orange du Québec, n'est-ce pas ?
Puis est arrivé la confusion... masques inutiles, masques obligatoires, la ministre McCann qui parle dans les premiers jours du confinement d'un médicament possible et peu onéreux, puis silence, on compte les personnes contaminées, hélas les décès, trop de décès. Le virus fait sauter les digues les unes après les autres. Cela est un tout autre sujet riche en réflexions, mais peu mathématique.
Les tests arrivent rapidement. Les médicaments... Les vaccins ont pris leur temps.
Évidemment, je n'ai aucune compétence médicale. Par contre, je sais que tout médicament, même le plus efficace, n'est pas efficace à 100 % et que la recherche, le développement et la mise en marché de tout médicament repose sur des analyses statistiques.
Les tests randomisés en double aveugle sont monnaie courante en recherche médicale. Cette vidéo présente la méthodologie mieux que je ne saurais le faire. (Parce que, avouons-le, la pandémie aura transformé le corps enseignant en spécialistes de la réalisation et du montage de capsules vidéo.)
Une quinzaine de pays d'Europe ont suspendu par précaution l'utilisation du vaccin d'AstraZeneca avant de l'injecter de nouveau. Au Québec, on se veut rassurant. Suivant la tendance des ministres français et britannique, notre ministre de la Santé a lui aussi reçu cette semaine ce vaccin. Certains ont mentionné que les problèmes auraient pu naître d'une "mauvaise batch". Il faut tout de même savoir que le contrôle de la qualité des produits médicaux est, on s'en doute bien, réalisé de façon rigoureuse et méticuleuse.
Tout cela est bien rassurant, n'est-ce pas ?
À moins que... à moins que votre bagage génétique ou votre état de santé ne correspondent à ceux des cobayes qui ont participé aux recherches...
Il y a quelques jours, nous recevions le Congrès de l'Association mathématique du Québec. Lors de l'un des ateliers, Christian Côté présentait un nombre assez curieux pour qu'il plaise à mon collègue Pierre-Luc et qu'il me charme à son tour. Il se présente sous forme d'énigme. Est-il possible qu'un nombre irrationnel élevé à une puissance irrationnelle donne un nombre rationnel ? Nombre rationnel : Nombre pouvant s'écrire comme le rapport de deux entiers (une fraction quoi). Nombre irrationnel : Nombre qui n'est pas rationnel. Dâh. Les irrationnels les plus célèbres sont e, π, √2.
Tout comme nos cuisiniers continueront sans doute encore longtemps à couper les oignons et le céleri avant d'adopter la nouvelle orthographe plus simple de ces légumes (ognon et cèleri), ce n'est pas demain la veille du changement de la notation de notions aussi populaires et utilisées.
Je ne suis pas non plus convaincue que cette notation facilite forcément la compréhension de chacune de ces notions. Mais peut-être que oui pour certains et pour ceux-là, ça vaut la peine de s'y intéresser.
Il arrive souvent que la paresse nous gagne et que nous nous disions pourquoi chercher dans les tables ce qu'un logiciel devrait pouvoir nous donner rapidement. Et pourquoi passer par un logiciel si un site Internet nous permet d'obtenir les calculs cherchés ?
Tout à l'heure, j'avais besoin de calculer une probabilité associée à une distribution normale. Pas de table de la loi normale ni de calculatrice à la main. Surtout pas le goût de faire ces calculs inintéressants ! (Pour le mathématicien, l'important est de savoir que la solution existe. La solution comme telle, on laisse ça aux physiciens ou aux ingénieurs !)
J'ai donc fouillé un peu et je suis tombée sur ce site de l'IREM de l'Université de la Réunion. On y trouve non seulement le calcul des probabilités associé à une distribution normale, mais la binomiale, la Poisson, l'exponentielle, etc.
Si on en fait des t-shirts, c'est qu'elle doit être bien vieille.
Mais c'est la première fois que je la croise et elle m'a fait bien rigolé.
"To be or not to be, that is the question."
Cela me permet de parler des appliquettes en ligne (c'est le nom qu'en donnerait mon collègue Serge) qui permettent de créer des circuits logiques. Ici, logic.ly. Très convivial et rapide, il suffit de capturer l'écran pour en faire un objet de présentation. Le hic : les connecteurs. Les étudiants de première session les confondent avec des négations. L'autre point qui m'agace : les connections souples.
Besoin d'une inspiration pour illustrer vos propos mathématiques ?
Le blogue fotomat.es semble s'être tu depuis 2014.
C'est pourtant un blogue que j'ai suivi avidement jusqu'à l'effondrement de mon Mac en 2013.
Depuis, dès que j'ouvre mon ordinateur, je suis propulsée en 2012. Impossible de m'échapper de OX 10.5.
Sinon j'erre de PC en PC.
(*Soupir*)
Or, comme vendredi dernier je cherchais une idée pour illustrer une limite à gauche, j'ai passé trop de temps à chercher le nom de ce blogue (comment est-il possible que je n'en aies jamais parlé ici).
Maintenant qu'il est retrouvé, même s'il reste figé dans le temps, il n'en demeure pas moins une banque de photos à la métaphore mathématique des plus intéressantes, à en donner le goût d'en faire des affiches.
Après la version américaine et la version canadienne, voilà que l'Institut du Nouveau Monde publie la répartition de la richesse au Québec.
Y a pas à dire, sur ce point, on n'est pas vraiment distinct.
Récemment, le Devoir publiait il y a quelques semaines un article troublant sur la pauvreté à Montréal : Se loger ou se nourrir. On y lisait que quatre ménages sur dix engouffrent plus du tiers de leurs revenus pour payer leur loyer.
Curieusement, les ménages les plus coincés pour payer leur loyer ne se
retrouvent pas toujours dans les quartiers centraux. La palme revient à
Sainte-Anne-de-Bellevue (52 %), ainsi qu’à Côte-Saint-Luc, où la moitié
des ménages à loyer allouent le tiers de leurs revenus au logement.
Suivent Côte-des-Neiges, avec 45 % des locataires dans la même
situation, et le Plateau, avec 44 %. Les familles avec enfants dans
cette situation sont plus nombreuses à Montréal-Nord (38 %), à
Saint-Léonard (37 %), à Côte-Saint-Luc (35 %), à LaSalle (34 %) et dans
Côte-des-Neiges (33 %).
